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1、新课程背景下函数客观题考查的新视角湖南省株洲市九方中学 王焱坤 (412001)函数是中学数学中最为基本的概念,它知识点多,覆盖面广,综合性强,与其它知识结合紧密,应用广泛,.新课程背景下高考数学重视对函数客观题的考查(一般三题左右).这些试题大多立意新颖、构思巧妙，注重从全新的视角强化对函数知识的全面考查.赏析这些试题，对我们开展新课程数学教学与组织高考复习会有许多有益的启示.视角之一：考查分段函数分段函数作为一种重要的函数表现形式，它既是高中函数的重要内容，又在高等数学学习中有着广泛的应用以分段函数为背景命题，能有效考查函数概念、符号、性质及应用.例1. (09天津理)已知函数,若则实数的
2、取值范围是 A B C D 解：由题知在上是增函数,故有，解得，故选择C.例2（09山东理）定义在R上的函数满足，则的值为A-1 B. 0 C. 1 D. 2解:当时,即,.即时,函数的周期为6.又由已知得, ,所以,故选C.评析: 例一以分段函数为背景，关注了对函数单调性，一元二次不等式等传统函数知识的考查.例二立意新颖，以分段函数为依托, 着眼于函数周期性、对数运算等知识的考查，强化了对学生的合情推理(归纳)能力的关注.视角之二:考查零点分布 函数、方程、不等式之间的联系是不可分割的.函数的零点连接着函数与方程、不等式等重要的知识版块.高考客观题对函数零点的考查,主要涉及到零点的个数及求法
3、，估计零点的近似值，讨论根的分布等，这些题一般涉及知识面宽，方法多，灵活性.例3.（09福建理）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则 可以是（ ）A. B. C. D. 解： 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 零点为x=.现在我们来估算的零点，因为,所以g(x)的零点x(,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A.例4.（09山东理）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数.若方程在区间-8，8上有四个不同的根则 . 解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,即函数图象关于直线对称且,又由知,所以函数是以8为周期的周期
4、函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图1画出函数的示意图如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,由对称性知所以.评析: 例3以零点为为背景,考查指数函数与直线的位置关系,强调了对零点概念及存在性定理本质的理解,渗透了对估算能力的考查.例4综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及运用数形结合思想和函数与方程的思想、转化思想解答问题.体现了高考命题者对数学思想的关注.视角之三.关注图表与图象的考查图象与图表是函数的重要表示形式.新课程高考重视通过图表与图象强化对学生收集、整理和加工信息能力的考查.这类题由于新颖别致，来源广泛,形式
5、灵活,成为近几年高考的新热点.例5.与都是定义域为的两个函数,其对应关系如下表:X1234X123423413412 则不等式的解集为_.解：由题有：x123434124123则不等式的解集为1例1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 6（09山东）函数的图象大致为解：:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 评析:例5以表格的形式给出函数,强调对函数概念本质的考查,例6突出考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.解题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其考察
6、其余的性质.视角之四.着眼创新,考查新定义型函数问题新课程标准、新教材的使用, 对学生的创新意识和创新能力有了更高的要求.题意新颖、构思精巧, 思维价值高,导向明确的即时定义型试题,也随之成为高考函数客观性的一大热点.例7（09浙江高考题）对于正实数，记M为满足下述条件的函数构成的集合：且,有下列结论正确的是（A）若, ,则（B）若, ,且,则（C） w.w.w.k.s.5.u.co.m （D）解:对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有 例8 （09湖南模拟题）对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(ab)，使当xa，b时，f(x)的值域也是a，b，则称函数f(x)为“科
7、比函数”. （1）给出下列两个函数：；，其中是“科比函数”的函数序号是 .（2）若函数是“科比函数”，则实数k的取值范围是.解：（1）因为是增函数，若f(x)为“科比函数”，则f(a)a，f(b)b，即a1a，b1b，无解，所以不是“科比函数”.因为当x0，1时，0，1，所以是“科比函数”.（2）因为是增函数，若是“科比函数”，则存在实数a，b(2ab)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.数形结合可得。评析：例7，例8两题利用即时定义,创设新颖的情境,分别考查弦的斜率取值范围及函数定义域与值域这些基础知识,具有起点高,落点低的特点.试题通过引导学生从不同角度运用所学
8、知识与所给新定义,作进一步的运算、推理、提炼、加工,解决新的问题,强化了对学生创新能力的考查.此类问题读懂题意是关健的一步.视角之五.凸现函数的应用性学习数学的最终目的就是应用到生活当中，函数也不例外，函数客观题中的应用题大多信息来源真实可靠,注重考查学生动脑、动手及应用的能力.例9.（09浙江理）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至2
9、00的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元（用数字作答）。解.对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为例10.(09广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A在时刻，甲车在乙车前面 B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同 D时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像及定积分
10、可知，速度图象与x 轴围成的面积表示汽车行驶的位移.曲线比在0、0与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. 评析:例9题虽然较为简单，但贴近生活，考查了分段函数在实际问题中的应用,只要学生能读懂题目，结合所学分段函数知识，能准确理解题意,明确电价的计算方法(即函数的解析式)即可求解.例10以函数图象为背景,以物理知识为载体,考查了定积分的几何意义,以及学生应用所学函数知识解决实际问题的能力.视角之六.关注知识交汇数学学科的系统性和严谨性决定了数学知识之间深刻的内在联系.新课程高考能力立意的命题理念决定了函数客观题注重在新增内容与传统内容的“交汇点”处设计试题.例11. 09安
11、徽高考题已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（A）（B） （C） （D）解：由得，即，, ，切线方程为，即,选A例12已知函数其中.记函数满足的事件为,则事件的概率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.A B C D解:基本事件构成正方形AOBC，事件A所对应的点满足，（即图3中阴影部分）由几何概率知识有：.故选A. 评析:例11考查了函数解析式的求法,导数的几何意义,函数方程的解法等基础知识,体现了利用导数研究传统数学问题的优越性，突出了导数知识的工具性作用.例12以函数为背景,考查了几何概型的相关知识.对教学与高考复习的启示 关注函数的基础性知识函数的基础概念是求解函数问题的基础，
12、复习时既要强化对函数三要素(定义域、值域、解析式)等概念理解，又要强化函数的四性（奇偶性、单词性、对称性与周期性）训练，新课程高考仍然会注重这些传统知识的考查.同时也要注意到图象、图表等都是函数的重要表示形式，其最大优点是直观明了.复习时要引导学生多关注图象、图表类信息题，训练学生从图表、图象中提取有用信息、实现形数转化及将文字、图形语言转化为数学语言的能力,进一步强化分段函数的训练. 注重知识交汇，数学思想渗透新课程背景下高考函数客观题，注重知识交汇与融合，复习时要注重用新观点，新方法来解决传统问题，加强用“代数法”与“导数法”两种方法来研究函数的性态.新课程增加了许多新的数学内容，同时新课
13、程倡导的学习方式的变革，为传统的函数知识提供了新的命题空间，因此在复习时要关注函数知识与其它知识的结合，关注函数类探究型试题，关注以函数为背景的合情推理、逻辑推理、估算等新题型的训练。同时还应注重函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想的渗透. 注重创新,加强新定义型试题的训练新课程背景下函数客观题的考查，新定义型试题占有较大的比重.并且一般以客观题中较难题出现（选择、填空题的靠后位置）.这些试题一般情境新颖、立意巧妙，所涉及到的函数新、符号多、题设与结论跳跃大，并且大多无现成的模式可资借鉴.因此在复习时要引导学生对函数概念本质的理解，教学时多展示思维形成的过程,要引导学生对函数族问题的研究，要善于将研究已知初等函数性态作为模型来解决新定义型函数问题，学会从单个函数的性质入手研究一类函数的性质.关注函数的应用性以源于生活、源于社会的问题来考查学生，能有效地考查同学们抽象、概括及建立数学模型的能力.数学应用题是同学们学习的难点,又是新课程高考的热点,在复习过程中要注意结合生活实际挖掘教材中的素材,适时地提出问题,创设问题情境,引导学生积极、主动地分析、研究数学应用问题,积累解题经验.总之,函数复习要重视概念形成，理清基础脉络，分析知识内涵、外延和交汇特点.同时掌握一些特殊方法、技巧，以提高解题速度和应对策略
