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1、,高考专题突破六 高考中的概率与统计问题,第十二章 概率、随机变量及其分布,数学 A（理）,考点自测,高考题型突破,练出高分,D,C,C,设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知,如图所示.,解析,题型一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2014四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. 求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率； 求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.,所有结果共有33327种，满足abc
2、的情况有3个. a、b、c不完全相同的结果可用其对立事件考虑.,思维点拨,解 由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.,设“抽取的卡片上的数字满足abc”为
3、事件A， 则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.,思维升华,几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏.,例1 (2)已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.设点(a，b)是 区域,内的一点，,求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率.,结合线性规划知识来解决.,思维点拨,要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，,依条件可知事件的全部结果所构成的区域为,构成所求事件的区域
4、为三角形部分. 所求概率区间应满足2ba.,思维升华,几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏.,跟踪训练1 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.,故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.,跟踪训练1 (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， 列出所有可能的抽取结
5、果； 求抽取的2所学校均为小学的概率.,解 在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种.,跟踪训练1 (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， 列出所有可能的抽取结果； 求抽取的2所学校均为小学的概率.,解 从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A2，A3，
6、共3种，,题型二 求离散型随机变量的均值与方差 例2 2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 ，甲队获得第一名的概率 为 ，乙队获得第一名的概率为 . (1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；,(1)利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P1，P2；,思维点拨,解析,解 根据题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队，,乙队获得第一名
7、，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，,(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其均值,思维点拨,例2 (2)设在该次比赛中,甲队得分为,求的分布列和均值.,例2 (2)设在该次比赛中,甲队得分为,求的分布列和均值.,解 可能取的值为0,3,6，,例2 (2)设在该次比赛中,甲队得分为,求的分布列和均值.,所以的分布列为,思维升华,离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入
8、相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应.,跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：,将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率.,(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列.,解 依题意得，X1的分
9、布列为,X2的分布列为,跟踪训练2 (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.,题型三 概率与统计的综合应用 例3 (2013课标全国)经销商经销某种农 产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品 获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位： t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.,利润T
10、是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与X的取值范围有关，因此，T关于X的函数要用分段函数表示.,思维点拨,例3 (1)将T表示为X的函数；,例3 (1)将T表示为X的函数；,解 (1)当X100,130)时， T500X300(130X)800X39 000. 当X130,150时，T50013065 000.,解 由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.,例3 (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；,解 依题意可得T
11、的分布列为,例3 (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率).求T的均值.,例3 (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率).求T的均值.,所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.3 65 0000.459 400.
12、,例3 (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率).求T的均值.,思维升华,概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.统计以考查抽样方法、样本,例3 (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X10
13、5，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率).求T的均值.,思维升华,的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.,跟踪训练3 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.,甲组 乙组,(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；,解 当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416(种)可能的结果，
14、这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此,所以随机变量Y的分布列为,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,1.(2013广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.,(1)根据茎叶图计算样本均值；,2,1,3,4,5,6,(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？,2,1,3,4,5,6,(3)从该车间12名工人中，任取2人,求恰有1名优秀
15、工人的概率.,2,1,3,4,5,6,2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值；,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.,解 设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，由于事件A1,A2，A3彼此互斥,且AA1A2A3，而P(A1) .P(A2)P(X2) .P(A3)P(X3) ，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A1)P(A2)P(A3)=,2,1,3,4,5,6,3.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是 . (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,(2)设甲答对题目的个数为，求的分布列.,则的分布列为,2,1,3,4,5,6,4.如图，是某城市通过抽样得到的
