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1、19.2.3 正方形,有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。,有一个直角,矩形,一组邻边相等,菱形,一组邻边相等,正方形,有一个直角,有一组邻边相等的矩形是正方形,有一个角为直角的菱形是正方形,特殊的矩形,特殊的菱形,特殊的 平行四边形,一组邻边相等,有一个直角,特殊的平行四边形,有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.,有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形.,平 行 四 边 形 的 性 质,性质,边,角,对角线,四个角都是直角,相等,互相垂直且 平分每一组对角,判定,四条边都相等,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。,四条边都相等,四个角都是直角,互相垂直且
2、相等，平分每一组对角,1.有一角是直角的平行四边形,2.对角线相等的平行四边形,3.三个角都是直角的四边形,1.有一组邻边相等的平行四边形,2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形,1.有一组邻边相等的矩形,2.有一角是直角的菱形,3. 一组邻边相等且有一直角的平行四边形,宁宁在商场看中了一块正方形手帕，但不知道是否真的是正方形，只见销售阿姨拿起手帕拉起一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角也能完全重合于是宁宁就买下了这块手帕，你知道宁宁买的手帕一定是正方形吗？若是请说明简单的理由，若不是应告诉宁宁怎样验证？,手帕是菱形，而不是正方形,还需添加什么条件呢？,
3、1.求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。,已知：如图四边形ABCD中ACBD于O点，且 AO=BO=CO=DO， 求证：四边形ABCD是正方形。,2.求证：四边相等且四个内角也相等的四边形是正方形。,已知：如图四边形ABCD中，AB=BC =CD=DA， A=B=C=D， 求证：四边形ABCD是正方形。,练一练,、对角线相等的菱形是正方形,、对角线互相垂直的矩形是正方形,、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形, 四条边都相等的四边形是正方形,、四个角都相等的四边形是正方形,、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,3.判断下列命题
4、哪些是真命题、哪些是假命题？,真,真,假,假,假,真,（1）正方形一定是矩形。（ ） （2）正方形一定是菱形。（ ） （3）菱形一定是正方形。（ ） （4）矩形一定是正方形。（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（ ）,4、判断题：,练一练,练一练,5、在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A、AC = BD，ABCD，AB = CD B、ADBC，A = C C、AO=BO=CO=DO，ACBD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC,C,例1如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，,MNAB且MN分别交OA、OB于M、
5、N，,求证：BMCN。,AB=BC，1=2=45 ,AM=BN,ABMBCN,正方形ABCD,OM=ON,OMNONM45,综合运用,45,45,45,45,练1： 正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F 求证：(1)OE = OF (2)若E是OB的延长线上的一点, OE = OF还成立吗?,综合运用,1,2,3,A,B,C,D,O,E,G,F,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 AEAB AGAC 1290 又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BAC EACBAG AECABG (SAS) CEAABG,例2如图ABC的外面
6、作正方形ABDE和ACFG，连结BG、 CE，交点为N. 求证：CEAABG,1,2,综合运用,CE与BG有何关系?,垂直且相等,练2：如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD，延长BD交AF于H。 求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,综合运用,练习1：（1）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，AE=BF.求证：AEBF,（2）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， AEBF.求证： AE=BF,（3）若图形变为图2与图3时，上两题结论还成立吗？,活动与探索,练习2：已知正方形ABCD，延长AB到F
7、，连结FC，作AGFC于G，AG交BC于E， 求证（1）AECF,（2）BEF45,活动与探索,3在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. (1)试说明:DE=DF (2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明),活动与探索,例2、在矩形ABCD中，P是AD上的一个动点，PE AC于E，PF BD于F，AG BD于G。试问，PE+PF与AG有什么关系？证明你的结论。,A,B,C,D,E,F,G,O,P,典型例题,4、如图，BD、CE是ABC的高，G 、 F 分别是BC、DE的中点，求证：FGDE,E,B,G,C,D,F,巩固练习,活动与探索,如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，若BE+DF=EF， 求证：EAF=45,变式：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，EAF=45，CEF的面积为 ，,求AEF的面积。,45,45,
