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1、石嘴山市第三中学高三年级第四次月考试卷（理数）第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1已知集合，则集合不可能是（ ）A. B. C. D. 2已知复，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 3设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4已知直线和圆，则直线和圆的位置关系是A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能5在矩形中， ， ，将沿折起后，三棱锥的外接球表面积为 A. B. C. D. 6堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.九章算术中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六
2、尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是()A. 25500立方尺 B. 34300立方尺 C. 46500立方尺 D. 48100立方尺7已知点P是抛物线上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 8已知实数满足若的最大值为10，则（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 19阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的的值等于( )A.18 B.20 C.21 D.40 10. 年年岁史诗大剧芈月传风靡大江南北，影响力不亚于
3、以前的甄嬛传，某记者调查了大量芈月传的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在 的爱看比例分别为，现用这个年龄段的中间值代表年龄段，如代表代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（ ）A. B. C. D. (第9题图） 11由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）A. 300 B. 338 C. 600 D. 76812若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=，值域为5，10的“孪生函
4、数”共有（）A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若， ，则_.14已知正方体的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M ABCD的体积小于的概率为_15已知展开式的常数项为15，则_16高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则_三、解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，且， 成等比数列.（
5、1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.18（满分12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的空气质量指数（API）的监测数据，统计结果如表：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），API指数为.当在区间内时，对企业没有造成经济损失；当在区间内时，对企业造成的经济损失与成直线模型（当API指数为150时，造成的经济损失为1100元，当API指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当API指数大于300时，造成的经济损失为2000元.（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100且不超过17
6、00元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中19（满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形， 平面， ， .(1)求证： 平面；(2)求二面角余弦值；(3)求点到平面的距离20 （满分12分）在平面内点、曲线C上的动点满足.（1）求曲线C的方程；（2）点， 在曲线上，且与轴平行，过点作两
7、条直线分别交曲线于， 两点.若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.21（满分12分）已知函数（）若函数的图像在点处的切线与直线平行，求实数的值；（）讨论函数的单调性；（）若在函数定义域内，总有成立，试求实数的最大值.22（满分10分）已知曲线 的参数方程为 ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.（）分别写出的普通方程， 的直角坐标方程；（）已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值答案1D2C3A4A5B6C7C8C9B10B11D12C 1314.151617（1）（2）【解析】试题分析： 根据条件可知，即，
8、和的关系，求出和的值，即可求出数列的通项公式；求得数列的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求出数列的前项和解析：（1）由题得，设等差数列的公差为，则， 化简得. ，得，即（2）由题意可知， ，-，得，.18(1) (2)0.4；(3)有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.解析：（1）依题意，可得（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元”为事件，由，得，由统计结果，知，即在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元的概率为0.39.（3）根据题中数据可得如下列联表：非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合
9、计8515100的观测值，所以有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.点睛：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关概率问题是高考中和实际联系非常紧密的一道题目，容易出现新的题型新的情景；只要审题清楚，联系实际和数学知识，就能做好。19(1)略(2)q= 450(3)解：（2）由PA面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CDAD， CDPD，知PDA为二面角PCDB的平面角. 又PA=AD，PDA=450. 二面角PCDB余弦值为。（3）PA=AB=AD=2，PB=
10、PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，由，有，即，得方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.2分在RtBAD中，AD=2，BD=，AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0），即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC. 4分解：（2）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，故平面PCD的法向量可取为PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 7分设二面角PCDB的大小为q，依题意可得. 9分（3）由（）得，设平面PBD的法向量为，则，即，x=y=z，故可取为. 11分，C到面PBD的距离为13分考点：本题考查直线与平
11、面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； 设分别是二面角的两个面，的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。20（1）；（2）。解析：（1）（2）设直线的方程为联立方程组 直线平分，所以和斜率互为相反数设直线的方程为联立方程组又21() ；()证明见解析
12、；() 解析：（）易得，且由题意，得，解得，（）由（）得，当时， ， 函数在单调递减，当时，由，得；由，得或函数在上单调递增，在上单调递减.当时，同理，得函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（）由题意，知恒成立，恒成立，恒成立，令，则只需，由，得，当时， ，此时，函数在上单调递减；当时， ，此时，函数在上单调递减，令，则只需由，得，此时， 在上单调递减，由，得，此时， 在上单调递减，即故所求实数的最大值为22（）曲线的普通方程为 ；曲线的普通方程为；（II）的最大值为【解析】：根据题意和平方关系求出曲线的普通方程，由和题意求出的直角坐标方程。法一：求出曲线参数方程，设点的参数坐标，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，利用正弦函数的最值求出的最值，即可求出的最大值；法二：设点坐标为，则，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，再求出的最值，即可求出的最大值。试题解析（1）曲线的普通方程为， 曲线的普通方程为. （2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.因此 .所以当时，有最大值28， 因此的最大值为. 法二：设点坐标为，则，由题意可知.因此 .所以当时，有最大值28， 因此的最大值为.
