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1、年月系统工程第卷第期总第期 关于亚式期权及其定价模型的研究 郑小迎陈金贤 【提要】 【关键词】 本 文首先剖析了亚式期权的主要特征和价值 生成机理 。 然后 , 利用无套利 原理 , 创建了能够反映亚 式期 权路径依赖特征的多因素定价模型 , 并针对 亚式期权的不同品种 平 均价格型期权和平均执行价格型期权的定价 分别进行了讨论 。 亚式期权 , 路径依 赖 型 , 无套利原理 , 多因素定价模型 期权是年代中期首先在 美国出现 的 一种金融创新工具 , 多年来它作为一种防 范风 险或投机的有效手段得到 了迅猛 发展 。 由于期权合约灵活 多样 、 适于创造 , 又有一个 庞 大的场外交 易市
2、 场 , 近年来 , 国际 金融 市场除了交易人 们广 为熟悉的欧式 、 美 式等标准期权之外 , 还涌现出大量由标准期 权变化 、 组合 、 派生而出 的新品种 , 即新型期 权 。 大多数新型期权往往都具备路径依赖的 特征 , 即期权价格不仅取决于 到期日的基础 资产 价格 , 而且取决于基础资产价格的变化 路径 。 亚式期权以下简称亚期权正是其中 的一项代表性产品 , 由于具备路径依赖特征 , 使得亚期权 的定价模型与标准期权相比呈现 出较大的差 异 。 本文将首先剖析亚期权的特 征及其价值形成机理 。在 此基础上 , 创建了包 含路径因子在内的多因素定价模型 , 并对不 同的亚期权品种
3、 平均价格型期权和平均 执行价格型期权的定价进行了讨论 。 鉴于我 国当前金融创新的发展动向 , 本文仅以股票 作为亚期权的基础资产进行研究 , 至于股指 、 商品 、 货币等类型的基础资产暂不作讨论 。 亚式期权及相关内容 期权是一种选择权 , 投资者在支付了一 定金额的权力金后 , 就拥有在预先规定的时 间或该时间之前按预先规定价格购买或出售 一定数量基础资产的权利 。 传统的标准期权 通常是按照期权的权利种类和行使权利的时 间来划分的根据所赋予权力的不同 , 可分为 看涨 期权即 购买权和看 跌期权即出售 权根据执行时间的不同 , 可分为欧式期权 和美式期权 , 欧式期权只允许买方在到期
4、日 进行交 易 , 而美式期权则允许买方在到期日 或到期日之前的任何营业日进行交易 。 相应 地 , 预先规定的时间称为期权的到期日记为 预先 规 定的价 格称为 期 权 的执行价 格 记为支付的权利金即为期权价格 , 它是 期权价值的货币表现形式 。 然而 , 年代出现的亚期权则与标准期 权 有明显不 同 , 它实质上是欧式期权的一种 创 新 。 亚期权与欧式期权的共同点在于它们 都只允许其投资者在到期日执行期权合 约 。 不 同点在于欧式期权是根据到期日的 股价的高 低来决定是否执行期权合 收稿日期 一一 。 郑小迎西安交通大学管理学院博士生陈金贤 该校教授 、博士生导师, 国际经济研究所
5、所 长 。 西安 本文受国家自然科学基金资助批准号 约 。 而亚期权是根据 合约期 , 内的股价 平均价格的高低来决定是否执行期权 合约 , 的表达式 为 。 ,、, 八又 丁 。 又 由 于具体计算方式 的不 同 , 亚期权可分 为平 均 价 格型期权和平 均执行价格 型期权 。 在 两 者 中 的用途有所差 异 前者以来代替欧式期权 中的到期日股 价 , 用来避免 在一段时 间 内因频繁交易 资产而 发生 的价 格 波动 风险后 者以 来替换执行价格 , 可保证一段时 间 内频 繁 交易资产所支付的平均 购买价格低于最终价 格 , 或保证频 繁交易资产所收取的平均销售 价 格 高于 最 终
6、价格三者 的区别 如表所 示 。 亚期权与欧式期权收益表达式 以看涨期权为例表 期期权种类类期权收益表达式式 欧欧式期权权 一 , 平平均价格型亚期权权 一 , 平平均执行价格型亚期权权 一 , 亚 期权的路径依 赖特征 导致其定价远 比欧式期权复杂 , 因此 , 我们将亚期权的定价 分解成三个待解决的 问题从标准期权 的定价模型 出发 , 探讨期权定价模型 的建模 思路建立能够反 映 路径 依赖特征的统 一定价模型以上述模型 为基础 , 详细讨 论亚期权不 同品种 的定价 。 以下对亚期权定 价的分析正是沿着这条思路展开的 。 一 在其著名论文期权定价与公 司债务中首次提出 , 其后 , 、
7、 、 与又对其进行了深入地 研究与改进 , 并将其推广到诸如股票期权 、 股 指期权 、 货币期权等众多衍生 品的定价之中 。 它首先假定股票价格服从对 数正态分布 , 然 后综 合运用 了有效市场 理论 、 无套利原理 、 定理 , 最终得到 了基于股价 的任意 一种 衍生 品价格的偏微分方程 。 其推导过程如下 首先作出以下假设证券市场是 一 个 弱性有效市场所有投资者都处于 一 个风险 中性的环境 中 , 所有的证券收益率均 为 无风险利率无交易费用或税收 随时可以按无风险利率贷入或贷出资金 在衍生 品有效期内不支付股利 。 交 易时 间 内的股价被看作是随时 间 变化的连续时间变量 ,
8、 并且服从对数正态分 布 也称几何布朗运动 一 户 其中 , 产 为预期收益率 。 为标准正态分 布的 标准差是一个过程 。根据 定 理 , 不付股 利股票的任意 一种衍 生 品记 为 , ”将遵循如下 的随机过程 。 日 。 。 挤 一 户 器 令 。 毛 含 一 奋、一 书 一 书 那 、, 甜 叶 二二 丁 以 十 占二万艺 优 叹 幻 一 模型的应用 接着构造一个包含 , 和在内的组合 证券记 为且 且 一一 昭 在经历微小 时间段后 , 结 合式 、 , 且 的变化量为 , 。 , 甜 、 , , 那 日 一 。 器 一 。 十 产 器 一 一 “ 一 了 一 、一 胳 一 由于亚期
9、 权 与欧式 期权具有 密切的联 系 , 所以首先应溯根求源 , 在充分理解欧式期 权定价模型的基础 上 , 逐渐凸现 出亚期权的 定价原理 。 一 模型以下简称 一 模型正是解决欧式期权定价最 为有效 的 手 段之 一 。 该 模型由美 国的 金融 学 家 三示 歹 幻 护 那 二石 一 产口心少 召 选择恰当的股票头寸 乙 , 就可消去式中的 随机项 , 令 那 胳 将式带入式 , 利用无套利原理可得 遵循如下的随机过程 ,。 济 。 那齐 一 二干犷 “ 又二不万 十 产 下万 十 下丁 乙 习一 理盖 觅 , 。 、 那 、 , 甜 , , 去共 、一 一 盯 一 一 一一 接着构造如
10、下的资产组合且 一一 一尹 六一胳 甜 , 。 甜 , 下丁 十 二 十 几万 “ 比 戊 乙 其 中为无风险利率 , 方程即为 一 模 型 , 属二 阶线性抛物型偏微分方程 。 对应于 不 同种类的衍生 品 , 该方程有不 同的解 。 以欧式 看涨期权 , 为例 , 其边界条件为 , , 一 , 进而可得到 , 的解析解 , 一 一一, 且 一一 必 经历了微小时间段后 , 且 且 门 那 , 。 , , 。 一 又下干 乙州卜 气东 “ 乙 的变化量为 挤 朗 。 亦甜 , , 十 产合荀不 十 下了 十 百 , 叮 甜 二二 二二 一 山 其中 , 口 了 一 叮 了了 一 一 , 一
11、。 丫至 下二二万, 是累计标准正态 分布函数 。 相同条件下 的欧式看跌期权 记为 , 可由其与看涨 期权的平价 关系得 到 , 一 , 一十 一一, 一一 一 一一一 从上述求解过程 中我 们需要把握以下两 点 一 模型以无套利理论作为基础 , 求解过程中使用 了大 量 的偏微分方程理论 , 这些方法对研究金融衍生品定价具有很强 的 指导意 义该模型仅涉及股 价与时 间 两个独立变量 , 但是当描述路径依赖型一类 期权的定价模型时还必须考虑股价移动路径 对其价格的影响 。 乙产万 口 令 。一 甜韶 , 并利用无套利原理 , 最终有 甜 , , 。 、 那 门 甜 。 。 挤 汾 , 涂器
12、 专护兰 下杀犷 一 “ 、一一 盯 ”一胳 一 “ 夯 一 至此 , 我 们就得到 了一个包含路径因子在内 的定价模型 。对应 不同的路径因子 , 方程 具有不 同的形式 。 亚式期权的定价模型 由定义可行 , 亚期权的路径因子 。 可描 述如下 , 。 一 , 根据方程 , 可得到亚期权的定价模型 一一 一尹 打一谷 那 。 甜 , 。 歹 。 二万 寸 一 又万, 丫卜 二几 万 十 下万口 “ 虎斑 乙 路径依赖型期权 的统一定价模型 由于路径依赖型期权具备的路径依赖特 征 , 使得在构造其定价模型时 , 必 须考察该特 征对期权定价 的影响 , 并构造出包含路径因 子记为 、 股价
13、、 时间 三因子在 内的定价 模型 。 首先 , 路径因子与标的资产价格 和 时间有关 , 可将其描述为 ,一 丁 , , ,“ , 是任意路径函数 , 期权表达式也重 写为 , ,。 根据定理 , 将 平均执行价格型亚期权的定价模型 以看 涨期权为例 , 平均执行价格型亚 期 权 , ,。, 艺 的边界条件可描述的 几 , ,。, 了 一 ,尸,、 宁 了 , 。 门 ,二,、,、二, 一不杀不 。 了 , 一 、一 “ 一 一 、一“、了“ 方程包含路径因子 、 股价 、 时间等 三个变量 , 但通过适当的变量替换可化简为 仅含两个变量的方程 , 令 一 载 训一 会 以替换 。, 同时利
14、用分离变量法 , 设 , , 具有如下形式 , 一 , 将式 、 代入方程 , 可得 日月 。 挤 、 了了 气于 十专护毛 云 于一岑异一 士 一 次 、一 一眼 由式 、 , 知变量的随机微分表达式 如 下 十 叮 一 产 一 由此将得到关于方程的边界条件 示方法如下 一 其中 , 一 不一 云 , 万 , 。 下面是 两者一阶矩和二阶矩的计算结果 。 ,了、 。 , 。 、,、, ,二 未 。 未 一 匕岑二 一 “ 一 一 、 。 、“ “ 一 、 一 砂 ,、, , 、,、 乙气气了 夕 , 。, , 一 石那下一 一一下一一花 万气一二甲一,气厂 一 又寸 一 一 少乙 一十 口
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16、的定价模 型 同样以看 涨期权 为例 , 平均价格型亚期 权二 , 。, 的边界条件可描述为 。, 口 了 了 , 一 十 一 十少 一 、 一一下一 模仿欧式期权的求解步骤 , 可得到平均价格 型看涨亚期权 , 的近似解 。, 幻 一万一, 刁 一 一 了 一 , 其中 , 刁 , 。 , 。 、,、二, ,尸,、 七 气 ,石少 一 飞人匕万万 气 一 乙 , 十 不 。, 一 于丫了二不庵 刁 , 一云护了二万 。 由于路径因子 。 不满足对数正 态分布 , 仅利 用方程无法得 到其精 确的解析解 。 但可 利 用一对数正 态变量 记 为 , 作为路径 因子 。 两者 的一阶矩 和二 阶矩相等的近 似值 , 从而 得 到其近似 的解析解 。 的表
