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1、专题04 数列与不等式（讲）考向一 、等差数列与等比数列 1.讲高考【考纲要求】1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系【命题规律】 对等差、等比数列基本量的考查是重点内容，常以选择题或填空题的形式出现考查运用通项公式，前n项和公式建立
2、方程组求解，应为简单题、对等差、等比数列性质的考查是热点，主要以选择题或填空题的形式出现，具有“新、巧、活” 的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，应为中档题等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，应为中档题例1【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】例2【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .【答案】【解析】由得，因此讲基础(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_等于同一个_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫
3、做等差数列的_，通常用字母d表示，即_d(nN，且n2)或_d(nN)(2)等差中项三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的_(3)等差数列的通项公式若an是等差数列，则其通项公式an_.an成等差数列anpnq，其中p_，q_，点(n，an)是直线_上一群孤立的点单调性：d0时，an为_数列；d0时，an为_数列；d0时，an为_（4）等差数列的前n项和公式等差数列前n项和公式Sn_.其推导方法是_an成等差数列，求Sn的最值：若a10，d0，且满足时，Sn最大；若a10，d0，且满足时，Sn最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值（5）等差数列的判定方法定义法：an1and(常数
4、)(nN*)an是等差数列；等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)(nN*)an是等差数列；(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B是常数)(nN*)an是等差数列（6）等差数列的性质aman_d，即d.在等差数列中，若pqmn，则有apaqam_；若2mpq，则有_amapaq(p，q，m，nN*)但要注意：在等差数列anknb中，若mpq，易证得amapaq成立的充要条件是b0，故对一般等差数列而言，若mpq，则amapaq并不一定成立若an，bn均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列pan，anq，anbn也为_数列
5、，且公差分别为_，_，_.在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，anm，an2m，为等差数列，公差为md.等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，为等差数列，公差为n2d.若等差数列的项数为2n，则S偶S奇nd，.（7）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_等于同一_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示(q0)（8）等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的_，且G2_或G_.（9）等比数列的通项公式若an是等比数列，则通项an_或an_.当nm为大
6、于1的奇数时，q用an，am表示为q_；当nm为正偶数时，q_ana1qn1可变形为anAqn，其中A_；点(n，an)是曲线_上一群孤立的点（10）等比数列的前n项和公式等比数列an中，Sn 求和公式的推导方法是：_，为解题的方便，有时可将求和公式变形为SnBqnB(q1)，其中B_且q0，q1.（11）等比数列的判定方法定义法：an1anq且a10(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列通项公式法：ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列前n项和公式法：SnqnBqnBan是等比数列（12）等比数列的性
7、质在等比数列中，若pqmn，则apaqaman；若2mpq，则aapaq(p，q，m，nN*)若an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列，pan(p0)，anbn，仍为等比数列且公比分别为_，_，_，_.在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，anm，an2m，仍为等比数列，公比为_公比不为1的等比数列前n项和为Sn(Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成等比数列，且公比为_(13)对于一个确定的等比数列，在通项公式ana1qn1中，an是n的函数当a10，_或a10，_时，等比数列an是递增数列；当a10，_或a10，_时，等比数列an是递减数
8、列；当_时，它是一个常数列；当_时，它是一个摆动数列【答案】（1）差常数公差anan1an1an（2）等差中项（3）a1(n1)dda1dydx(a1d)单调递增单调递减常数列（4）na1倒序相加法 0000（6）(mn) an2 等差pd1d1d1d2（7）比常数公比（8）等比中项ab（9）a1qn1amqnmyqx（10）na1乘公比，错位相减（12）q1q1q2qmqn(13)q10q10q1q1q1q03.讲典例【例1】【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【答案】6【解析】是等差数列，故填：6【趁热打铁】【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】在等差数列
9、中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ ）A21 B20 C. 19 D18【答案】B【例2】【2016高考新课标1文数】已知是公差为3的等差数列,数列满足,.（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.【答案】（I）（II）【解析】（I）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.（II）由（I）和 ,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则【趁热打铁】【2016高考北京文数】已知是等差数列，是等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（，）；（2）4.讲方法(1) 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法
10、：证明；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；(2) 等比数列的判定方法：一、定义法：若是常数，则是等比数列；二、中项公式法：若数列中，则是等比数列；三、通项公式法：若数列通项公式可写成（3）数列是特殊的函数，注意函数思想的应用，一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，（4）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为、；（5）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路
11、是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 0,d0,解不等式组 an 0 an+1 0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 0,解不等式组 an 0 an+1 0 可得Sn 达最小值时的n的值;（6）若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则。.（7）若是等差数列，则是等比数列，若是等比数列且，则是等差数列.（8）等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a.注意：在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论当时，；时，）
12、5.讲易错【题目】已知数列的前n项之和为,则数列的通项公式为.【错解】【错因】忽视数列首项的重要性而致误【正解】当时，当时，所以【反思提升】给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘.考向二、数列的求和及其综合应用1.讲高考【最新考纲】(1)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式(2)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题(3)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系【命题规律】（1）可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一.除此之外裂项相消法、错位相减法也是常常考查的求和方法；（2）数列的综合应用问题，出题背景选择面广，易与函数方程、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题.例1【2016高考山东文数】已知数列的前n项和，是等差数列，且.（I）求数列的通项公式； （II）令.求数列的前n项和. 【答案】（）;（）【解析】（）由题意当时，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。（）由（）知，又，即，所以
