《六年级奥数 几何;第3讲;直线型面积_三_;教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级奥数 几何;第3讲;直线型面积_三_;教师版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2010 年短期班 小学奥数五年级几何第 3 讲 教师版 page 1 of 17 第三讲 直线型面积（三） 第三讲 直线型面积（三） 1. 相似模型的熟练运用； 2. 燕尾定理模型的熟练运用. 一、相似三角形性质(平行线分线段成比例) 一、相似三角形性质(平行线分线段成比例) 相交线段 AD 和 AE 被平行线段BC和 DE 所截，得到的三角形ABC和 ADE 形状完全相似所谓“形 状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例这种关系称为“相似” ，相似三角形 对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习 （左边是金字塔模型，右边是沙漏模型） AD AB = AE
2、AC = DE BC = AG AF F ED CB A G G F ED CB A 相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方： 2 2 ABC ADE SAB SAD =. 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化 二、燕尾定理： 二、燕尾定理： 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么: ABOACO SSBD DC =具体关系如下： SAGC:SBGC=SAGD:SBGD=AD:DB SAGB:SCGB=SAGF:SCGF=AF:FC SABG:SAGC=SBGE:SCGE=BE:EC G F E D C B A 上述定理给出了一个新
3、的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用 板块一：相似模型 【例【例 1】 】 如图，已知在平行四边形如图，已知在平行四边形ABCD中，中，16AB =，10AD =，4BE=，那么，那么FC的长度是多少？的长度是多少？ F E D C B A 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以 :4:161:4BF FCBE CD=，所以 4 108 14 FC = + 【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，若，若 :2:3AD DB = ，那么，那么
4、: ADEECB SS= _ A E D C B 2010 年短期班 小学奥数五年级几何第 3 讲 教师版 page 2 of 17 【解析】 根据金字塔模型:2:(23)2:5AD ABAE ACDE BC=+=， 22 :2 :54:25 ADEABC SS= ， 设4 ADE S= 份，则25 ABC S= 份，255 315 BEC S= = 份，所以:4:15 ADEECB SS= 【例【例 2】 】 如图， 如图， ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB=， 则则 : ADEDEGFFGCB SSS= 四边形四边形 E GF A D C B 【解析】 设1
5、ADE S= 份，根据面积比等于相似比的平方， 所 以 22 :1:4 ADEAFG SSADAF= ， 22 :1:9 ADEABC SSADAB= ， 因 此4 AFG S= 份 ， 9 ABC S= 份，进而有3 DEGF S= 四边形 份，5 FGCB S= 四边形 份，所以:1:3:5 ADEDEGFFGCB SSS= 四边形四边形 【巩固】如图， 【巩固】如图， ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，互相平行，ADDFFMMPPB=， 则 ， 则: ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS= 四边形四边形四边形四边形 Q E G NM F P A D C B
6、 【解析】 设1 ADE S= 份， 22 :1:4 ADEAFG SSADAF= ，因此4 AFG S= 份，进而有3 DEGF S= 四边形 份，同 理有5 FGNM S= 四边形 份，7 MNQP S= 四边形 份，9 PQCB S= 四边形 份 所以有:1:3:5:7:9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS= 四边形四边形四边形四边形 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列 【例【例 3】 】 已知正方形已知正方形ABCD，过，过C的直线分别交的直线分别交AB、AD的延长线于点的延长线于点E、F，且，且10 cmAE =，
7、15cmAF =，求正方形，求正方形ABCD的边长的边长 F A E D C B 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有:BC AFCE EF=，:DC AECF EF=，设 正方形的边长为cmx，所以有1 BCDCCECF AFAEEFEF +=+=，即1 1510 xx +=，解得6x =，所以正方形 的边长为6 cm 方法二：或根据一个金字塔列方程即 15 1015 xx =，解得6x = 【例【例 4】 】 如图，三角形如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高毫米，高80AD =毫米，要把它加工成毫米，要把它加工成 20
8、10 年短期班 小学奥数五年级几何第 3 讲 教师版 page 3 of 17 正方形零件，使正方形的一边在正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？ 上，这个正方形零件的 边长是多少？ HG N P A D CB 【解析】 观察图中有金字塔模型5个， 用与已知边有关系的两个金字塔模型， 所以有 PNAP BCAB =， PHBP ADAB =， 设正方形的边长为x毫米， PNPH BCAD +=1 APBP ABAB +=，即1 12080 xx +=，解得48x=，即正方形的 边长为48毫米 【巩固】如图，在【巩
9、固】如图，在ABC中，有长方形中，有长方形DEFG，G、F在在BC上，上，D、E分别在分别在AB、AC上，上，AH是是 ABC 边 边BC的高，交的高，交DE于于M，:1:2DG DE =，12BC =厘米，厘米，8AH =厘米，求长方形的 长和宽 厘米，求长方形的 长和宽 E HG M F A D C B 【解析】 观察图中有金字塔模型5个， 用与已知边有关系的两个金字塔模型， 所以 DEAD BCAB =，DG BD AHAB =， 所以有1 DEDGADBD BCAHABAB +=+=，设DGx=，则2DEx=，所以有 2 1 128 xx +=，解得 24 7 x =， 48 2 7
10、x =，因此长方形的长和宽分别是 48 7 厘米， 24 7 厘米 【例【例 5】 】 在图中的正方形中，在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，分别是所在边的中点，CDO?的面积是的面积是ABO?面积的几倍？ 面积的几倍？ A B C D O E F A B C D O 【解析】 连 接BC， 易 知OAEF， 根 据 相 似 三 角 形 性 质 ， 可 知:OB ODAE AD=， 且 :1:2OA BEDA DE=，所以CDO?的面积等于CBO?的面积；由 11 24 OABEAC=可得 3COOA=，所以3 CDOCBOABO SSS= ? ，即CDO?的面积是ABO?面积的3
11、倍 【例【例 6】 】 图中图中ABCD是边长为是边长为12cm的正方形，从的正方形，从G到正方形顶点到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三 角形在 连成一个三角形，已知这个三 角形在AB上截得的上截得的EF长度为长度为4cm，那么三角形，那么三角形GDC的面积是多少？的面积是多少？ 2010 年短期班 小学奥数五年级几何第 3 讲 教师版 page 4 of 17 AB CD EF G N M AB CD EF G 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样， 就可以采用相似三角形性质来解决问题 做GM垂直DC于M，交AB于N 因为E
12、FDC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为:4:121:3EF DC=， 所以:1:3GN GM =，又因为12MNGMGN=，所以()18GMcm=， 所以三角形GDC的面积为() 2 1 12 18108 2 cm= 【例【例 7】 】 如图，将一个边长为如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长的正方形两边长分别延长1和和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面 积是多少？ ，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面 积是多少？ B M N F O E 【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有： 3 1223 NF = + ； 1 2312 EM = + ， 则 5 9 NF =，
13、5 3 EM =， 1951 22 25330 S = 阴 【例【例 8】 】 如右图，长方形如右图，长方形ABCD中，中，16EF=，9FG=，求，求AG的长的长 DA BC E F G 【解析】 因为DABE，根据相似三角形性质知 DGAG GBGE =， 又因为DFAB， DGFG GBGA =， 所以 AGFG GEGA =，即 22 25 922515AGGE FG=，所以15AG = 【例【例 9】 】 (第(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边上 的点，且 边上 的点，且:1:3D
14、E EC=，AF与与BE相交于点相交于点G，求，求 ABG S 2010 年短期班 小学奥数五年级几何第 3 讲 教师版 page 5 of 17 G F A E D C B M G F A E D C B G F A E D C B 【解析】 方 法 一 ： 连 接AE， 延 长AF，DC两 条 线 交 于 点M， 构 造 出 两 个 沙 漏 ， 所 以 有 :1:1AB CMBF FC=， 因 此4CM =， 根 据 题 意 有3CE =， 再 根 据 另 一 个 沙 漏 有 :4:7GB GEAB EM=，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS= + 方法二：连接,
15、AE EF，分别求4224 ABF S= ，444 1232247 AEF S= = ，根 据蝴蝶定理:4:7 ABFAEF SSBG GE= ，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS= + 【例【例 10】 】 已知长方形已知长方形ABCD的面积为的面积为70厘米，厘米，E是是AD的中点，的中点，F、G是是BC边上的三等分点，求阴影边上的三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？的面积是多少厘米？ HO GF E D C B A A B C D E FG OH 【解析】 因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份 的话，那么3EDAD=份、2BFFGGC=份，大家能在图形中找到沙漏EOD和BOG： 有3 4ED B
