极坐标系及其与直角坐标系的互换

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1、1.3.1 极坐标系教学目标: 一、知识与技能：知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；二、方法与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；教学重点: 极坐标（ ， ）与平面上的点的关系教学难点：极坐标（ ， ）与平面上的点的关系；教学过程一、新课引入：直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。如力所示，缉私观测站位于点 O 处，看到们于点 A 处的走私船正在逃跑，现停泊于点 O 处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供

2、走私船所在的位置 P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（ ， ） ，而是它的方xy位角，即夹角 。在航空和航海中的情况都是这样。当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。二、讲解新课：在平面内取定一点 O，O 点叫作极点：从 O 起引一条射线 O ，这条从极点起x的射线 O 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向） ，x这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。对于平面上的一个点 M，连接极点 O 与 M，线段 OM

3、 之长 叫作 M 点的极径（或矢径、或向径） ，极轴 O 为始边按逆时针转到 OM 的角 叫作 M 点的极角，x有序数对（ ， ）叫作 M 点的极坐标。当 M 在极点时，它的极径 =0，极角 可取任何实数。在极坐标系中，若无特殊声明， 是非负实数， 。,0),(当 时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的2与 ，由极坐标（ ， ）可以唯一地确定一个点 M，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ ， ）的定义，对于给定的点，它的极径 是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ ， ） ，则（ ， ）也n2是这个点的极坐标，其中

4、 是任意整数，当 时，n0表示从该点起绕极点 O 逆时针转动了 圈又回到原n2处，当 时， 表示从该点起绕极点 O 顺时针转02动了 圈又回到原处。三、范例讲解例 1、在极坐标系中，画出点 A（1， ） ，B（2， ）43C（3， ）D（4， ）9解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即 线， 线， 线，4234线， 线和 线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。494指出：我们也可以允许 ，此时极坐标（ ， ）对应的点 M 的位0置按下面规则确定：点 M 在与极轴成 角的射线的反向延长线上，它到极为 O 的距离| |，即规定当 时，点 M（ ， ）就是点 M（）,例 2

5、、如图在极坐标系中，写出点 A，B，C，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点 A 与极点 O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0） ，同样可求得 B，C 的极坐标分别为（4， ） ， （5， ）234指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ ， ）后，再写出其通式（ ， ）或（ ）n2)12(,n例 3、已知点 Q（ ， ） ，分别按下列条件求出点 P 的极坐标。（1）M 是点 Q 关于极点的对称点：（2）N 是点

6、Q 关于直线 的对称点2解：（1）由于 M、Q 关于极点对称得它们的极径 OQ=OM，极角角相差，所以点 M 的极坐标为（ ， ）或（ ） （)2(n)12(nn,）Z（2）由于点 Q、N 关于直线 的对称，得它们的极径 OQ=ON，点 N 的极角2满足 所以点 N 的极坐标为（ ， ）nn2或（ ） （ ）,Z例 4、已知两点的极坐标 A（ 3， ） ，B（3， ） ，26求 AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3 ，AOB= ，3即AOB 为等边三角形，所以|AB|=3 ，ACX= 65法二：A 、B 两点的极坐标分别为（3，

7、） ， （3， ） ，2|OA|=|OB|=3，AOC= ，BOC= 了 AOB= ，2在AOB 中，由余弦定理可得 AOBOBABcos| 22= =33cos32即AOB 为等边三角形，ACX= AOC+OAB= 65四、巩固练习：1、已知两点的极坐标 P（5， ） ，Q（1， ） ，求线段 PQ 的长度442、已知点 A 的极坐标（6， ）分别写出给定条件下点 A 的极坐标3若 ；则 A ,0若 ，则 A 2若 ，则 A 0,五、小结， ，则1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（ ，xAOBC）是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（ ， ）不是一

8、一y 对应，只有在规定 的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才2,0,一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。2、一般地，极坐标（ ， ）与（ ， ）表示同一个点，特别地，极n点 O 的坐标为（0， ）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。六、课后作业：课本 24 页 习题 2，4，教学反思：1.3.2 极坐标系教学目标: 一、知识与技能：知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程二、方法与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面

9、直角坐标系中的方程。三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点 O，O 点叫作极点：从 O 起引一条射线 O ，这条从极x点起的射线 O 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为x正向） ，这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标系的要素是：极点

10、、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点 M，连接极点 O 与 M，线段 OM 之长 叫作 M 点的极径（或矢径、或向径） ，极轴 O 为始边按逆时针转到 OM 的角 叫作 M 点的x极角，有序数对（ ， ）叫作 M 点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。二、讲解新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线 L 的极坐标方程是指 L 上的动点的极

11、坐标的极径与极角满足的方程 或)(f0),F1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点 O 的直线方程形如： ，其中 是实数，kxy叫作斜率， ， 是此直线与 O 轴的夹角，这个角是多大，一般从 上tankxk不易看出来，需要计算 。但在极坐标中，我们取 O 的正方向为极轴，rct则过极点 O 的射线方程写成 ）2,0(0如果我们充许极径取负值，约定 M （ ， ）关于极点对称点 N 的极坐标写成 N（ ） ，于是过原点与 轴夹角为 的直线的极坐标方程为,x0:l0如与 轴夹角为 过原点的直线的极坐标方程为 =x442、圆心在极点的圆的极坐标方程 =0r方程 = 的含义是动点的极径恒

12、为 ，是个常数；而方程 = 无极角 ，0r00r表示 可以任意变化，当极径 是常数，极角任意时，即动保持与 O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为 0r设此圆上任取一点 M 的极坐标为（ ， ） ，由于 OA 是直径，所以OMA= ，于是 ，即 从而得 与 满足的方2cosOAMcos20r程为： =20rcos4、阿基米德螺线一个动点 M 随时间的增加绕定点 O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离 O 点越来越远，它远离 O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把 O 点定为极坐标的极点，M 与 O 点的直线距离就是

13、向径 ，转角就是极角 ，由于 与 的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间 为 （t）0,一般地，将该式写成)0(表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的)(扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。三、范例讲解例 1、 （1）求过点 A（2， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程；4（2）过点 A（3， ）且和极轴成 角的直线的极坐标方程3思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。解法一：如图，在直线 上任取一点 M（ ， ）l在OAM 中 |OA|=2 |OM|= OAM

14、= （或 ） OMA= （或 ）4在OAM 中由正弦定理得： )4sin(i2O A M4H 2sin解法二：如图在直线 上任取一点 M（ ， ）过 M 作 MH极轴于 H 点，l|MH|=2 =4si在 RTOHM，|HM|=|OM| 即sin2sin（2）MBx= ，OAB= =34315OMA= )(在MOA 中，根据正弦定理 125sin)4sin(化简得直线 的极坐标方程为：l 3)coi本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。例 2、在极坐标系中，求以

15、 Q（ ， ）为圆心，以 为半径的极坐标方程rr解：由已知条件可知，此圆过极点。设点 M（ ， ）为圆上任意一点，连结OQ 交圆于点 N，则 ON 为圆的直径，连结 MN，则OMN 为直角三角形。NOM= |ON|=2r|OM|=|OM| 即 =2)cos()cos(这就是所求的圆的极坐标方程。四、巩固练习：1、设极点 O 到直线 的距离为 ，由点 O 向直线 作垂线 OA，由极轴到垂线 OAldl的角度为 （如图所示）求已知直线 的极坐标方程l2、判断两圆 和 的位置关系sin3cocos2五、小结OAM3xBOMNOAMx几类特殊曲线的极坐标方程1、过极点直线的极坐标方程 :l02、过已知点 A（ ， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程：0sinsi3、过已知点 A（ ， ）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：0coss4、过点 A（ ， ）且和极轴成 角的直线的极坐标方程：0)sin()si(05、极点