《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案（含解析）新人教B版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案（含解析）新人教B版选修2-1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5直线与圆锥曲线学习目标1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，0，得3m3.于是，当3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点(2)由0，得m3.也就是当m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相
2、同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)由0，得m3.从而当m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点反思感悟在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形跟踪训练1已知双曲线C：x21，直线l的斜率为k且直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？解设直线l：y1k(x1)，即ykx(1k)由得(k22)x22k(k1)xk22k30.(*)当k220，即k时，(*)式
3、只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点当k220时，2416k，若0，即k，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若0，即k且k，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点综上，(1)当k或k时，直线l与双曲线只有一个公共点；(2)当k时，直线l与双曲线无公共点题型二中点弦及弦长问题例2已知点A(1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMAkMB2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|，求直线PQ的方程解(1)设M(x，y)，则kMA，kMB(x1)，2
4、，x21(x1)(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2k(x1x2)，联立消去y得(k22)x22kx10.4k24(k22)8(k21)0，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2，|PQ|2，k22，k，直线PQ的方程是yx10.反思感悟直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意跟踪训练2中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x
5、y10相交于A，B，C是AB中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程解设椭圆方程为ax2by21(a0，b0，ab)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba，再由|AB|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是x2y23.题型三圆锥曲线中的最值及范围问题例3已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且AOB90.(1)求证：直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值(1)证明设OA
6、所在直线的方程为ykx(易知k0)，则直线OB的方程为yx.由得A，由得B(2k2，2k)直线AB所在直线方程为(y2k)(x2k2)，化简得xy20，直线过定点P(2,0)(2)解由于直线AB所在直线方程过定点P(2,0)，可设直线AB的方程为xmy2.由得y22my40.|y1y2|.SAOB|y1|OP|y2|OP|OP|y1y2|y1y2|4.AOB面积的最小值为4.反思感悟(1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围(2)求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函
7、数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB，设C(xC，yC)，以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条B3条C2条D1条考点直线与抛物线
8、的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案B解析当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1或0m1C0mm，则1，若5m，则必有公共点，m1且m5.3抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为()A(1,2) B(0,0) C.D(1,4)答案C解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.由得4x24xm0.(*)设此直线与抛物线相切，有0，即1616m0，m1.将m1代入(*)式，得x，y1，所求点的坐标为.4过椭圆1的右焦点作
9、一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析由已知可得直线方程为y2x2，联立方程得方程组解得A(0，2)，B.SAOB|OF|yAyB|.5过点A(6,1)作直线l与双曲线1相交于两点B，C，且A为线段BC的中点，则直线l的方程为_答案3x2y160解析设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则0.即kBC，直线l的方程是y1(x6)即3x2y160，经验证符合题意1解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并
10、不一定相切2与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系3在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1已知双曲线C：x2y21，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于()A1B1C1D2答案C解析结合题意，F(，0)，且渐近线为yx，欲使直线l与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等2
11、已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为()A3B4C5D6答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1与x1得kAB6.3对于抛物线C：y24x，我们称满足y4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与拋物线C()A恰有一个公共点B恰有两个公共点C可能有一个公共点也可能有两个公共点D没有公共点答案D解析C与l联立得y0y2，即y22y0y4x00，4y16x0，由题意y4x0，0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF.1，整理得b2ac.c2a2ac0.
