《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（第3课时）直线与椭圆的位置关系（二）学案（含解析）新人教B版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（第3课时）直线与椭圆的位置关系（二）学案（含解析）新人教B版选修2-1（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时直线与椭圆的位置关系(二)题型一弦长问题例1已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M，N两点，当|MN|时，求直线l的方程.考点题点解(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPAkPB.，化简整理得y21.故P点的轨迹方程C是y21(x)(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k24(12k2)8k240，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，经检验符合题意直线l的方程是yx1，即xy
2、10或xy10.反思感悟求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长跟踪训练1已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长考点题点解设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c，F(，0)，直线l的方程为yx，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x
3、2|.题型二中点弦问题例2已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程考点题点解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2)将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又M为线段AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相减
4、，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线的方程为x2y40.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x,2y)A，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.反思感悟解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：利用交点在曲线上，
5、坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.跟踪训练2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1D.1考点题点答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程为1.题型三与椭圆有关的最值或范围问题例3
6、已知椭圆C：4x2y21.(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2n2的取值范围；(2)设直线yxm与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)m2n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，则m2n2.(2)可求得O到AB的距离d，将yxm代入4x2y21，消去y得5x22mxm210.所以x1x2，x1x2，|AB|，(2m)245(m21)2016m20，mb0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于
7、零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)
8、x212kx90，(*)x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2，由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均使方程(*)没有两相异实根故这样的k不存在素养评析本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1若直线l：2xby30过椭圆C：10x2y210的一个焦点，则b等于()A1B1C1D2考点题点答案B解析因为椭圆x21的焦点F1(0，3)，F2(0,3)，所以b1或1.2直线yx1被
9、椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A.B.C.D.考点题点答案C解析联立消去y，得3x24x20，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，故AB的中点横坐标x0.纵坐标y0x011.3已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案A解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直线方程为yx，即x2y30.4过椭
10、圆1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是_考点题点答案解析由题意可知，在1中，c，故F(，0)当x时，y3，所以|AB|，所以以AB为直径的圆的面积是2.5求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆1所截得的线段的长度考点题点解过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得1，即x23x80.x1x23，x1x28.|AB|.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3
11、)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解一、选择题1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2B.C.D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.2已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为()A6B15C20D12考点题点答案D解析S|OF|y1y2|OF|2b12.3已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为(
