次数资料分析检验

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1、第七章 次数资料分析 2检验,本章将分别介绍对次数资料、等级资料进行统计分析的方法。,下一张,主 页,退 出,上一张,第一节 2统计量与2分布,一、 2统计量的意义 为了便于理解，现结合一实例说明2 (读作卡方) 统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性别比例计算，公、母羔均应为438只。以A表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数，可将上述情况列成表7-1。,下一张,主 页,退 出,上一张,表7-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数,下一张,主 页,退 出,上一张,从表7-1看到 ， 实际观察次数与理论

2、次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。 这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊的性别统计当作是一次抽样调查)、还是羔羊性别比例发生了实质性的变化? 要回答这个问题， 首先需要确定一个统计量 用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度； 然 后 判 断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。,为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。从表7-1看出：A1-T1 =-10，A2-T2=10，由于这两个差数之和为0， 显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度。为了避免正、负抵消，可将两个差数A1-T1、A2-T

3、2 平 方 后 再 相 加 ，即计算(A-T)2，其值越大 ，实际观察次数与理论次数相差亦越大 ， 反之则越小 。 但 利 用 (A-T)2表示实际观察次数与理论次数的偏离程度尚有 不 足 。例 如 某 一 组 实 际 观 察 次 数为,下一张,主 页,退 出,上一张,505、理论次数为500，相差5；而另一组实际观察次数为26、 理论次数为21，相差亦为5。显然这两组实际观察次数与理论次数的偏离程度是不同的。因为前者是相对于理论次数500相差5，后者是相对于理论次数21相差5。为了弥补这一不足，可先将各差数平方除以相应的理论次数后再相加，并记之为2 ，即,下一张,主 页,退 出,上一张,(7

4、-1) 也就是说2是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计量， 2越小，表明实际观察次数与理论次数越接近； 2 =0，表示两者完全吻合； 2越大，表示两者相差越大。 对于表7-1的资料，可计算得 表明实际观察次数与理论次数是比较接近的。,下一张,主 页,退 出,上一张,二、2分布 上面在属于离散型随机变量的次数资料的基础上引入了统计量2， 它近似地服从统计学中一种连续型随机变量的概率分布2分布。下面对统计学中的2分布作一简略介绍。 设有一平均数为、方差为 的正态总体。现从此总体中独立随机抽取n个随机变量：x1、x2、xn，并求出其标准正态离差： ， ， ，,下一张,主 页,退 出,上一张

5、,记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为2 ： (7-2) 它服从自由度为n的2分布，记为 2 (n)；,下一张,主 页,退 出,上一张,若用样本平均数 代替总体平均数，则随机变量 (7-3) 服从自由度为n-1的2分布，记为 ,下一张,主 页,退 出,上一张,显 然 ，20 ， 即 2 的 取 值 范 围 是0,+；2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；df30时， 接 近 平均数为 的正态分布。图7-1 给出了几个不同自由度的2概率分布密度曲线。,下一张,主 页,退 出,上一张,三、的连续性矫正 由(7-1)式计算的2只是近似地服从连续型随

6、机变量2分布。在对次数资料进行2检验利用连续型随机变量2分布计算概率时，常常偏低，特别是当自由度为1时偏差较大。 Yates(1934)提出了一个矫正公式，矫正后的2值记为 ： = (7-4),下一张,主 页,退 出,上一张,当自由度大于1时，(7-1)式的2分布与连续型随机变量2分布相近似 ，这时，可不作连续性矫正 ， 但 要 求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理论次数大 于5 为止。,下一张,主 页,退 出,上一张,第二节 适合性检验,一、适合性检验的意义 判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验称为适合

7、性检验。,下一张,主 页,退 出,上一张,在适合性检验中，无效假设为H0：实际观察的属性类别 分配符合已知属性类别分配的理论或学说；备择假设为HA：实际观察的属性类别 分 配 不符合已知属性类别 分配的理论或学说。并在无效假设成立的条件下 ，按已知属性类别分配的理论或学说计算 各属性类别的理论次数。 因所计算得的各个属性类别理论次数的总和应等于各个 属性类别 实际 观 察次数的总和， 即独立的理论次数的个数等于属性类别分,下一张,主 页,退 出,上一张,类数减1。 也就是说 ，适合性检验的自由度等于属性类别分类数减 1 。若属性类别分类数为k ，则适合性检验的自由度为 k-1 。然后根据(7-

8、1)或(7-4)式计算出2或2c。将所计算得的2或2c值与根据自由度k-1查2值表(附表8)所得的临界2值：20.05、20.01比较：,下一张,主 页,退 出,上一张,若2 (或2c)20.05，P0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说； 若20.052 (或2c)20.01，0.01P0.05，表明实际观察次数与理论次数差异显著，实际观察的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的理论或学说； 若2 ( 或2c)20.01，P0.01，表明实际观察次数与理论次数差异极显著 ，实际观察的属性类别分配极显著不符合已知 属性类

9、别分配的理论或学说。,二、适合性检验的方法 下面结合实例说明适合性检验方法。 【例7.1】 在进行山羊群体遗传检测时，观察了 260只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色，其中181只为白色，79只为黑色，问此毛色的比率是否符合孟德尔遗传分离定律的31比例?,下一张,主 页,退 出,上一张,检验步骤如下： （一）提出无效假设与备择假设 H0：子二代分离现象符合31的理论比例。 HA：子二代分离现象不符合31的理论比例。 （二）选择计算公式 由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色），属性类别分类数k=2，自由度df=k-1=2-1=1，须使用（74）式来计算 。,下一张,主 页,退 出,上一张,（三）计

10、算理论次数 根据理论比率31求理论次数： 白色理论次数：T1=2603/4=195 黑色理论次数：T2=2601/4=65 或 T2=260-T1=260-195=65 （四）计算,表72 2c计算表,下一张,主 页,退 出,上一张,(五)查临界2值，作出统计推断 当自由度 df=1 时， 查 得 20.05（1） =3.84，计算的2c0.05，不能否定H0，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为白色羊与黑色羊的比率符合孟德尔遗传分离定律31的理论比例。,【例7.2】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出现黑色无角牛192头，黑色

11、有角牛78头，红色无角牛72头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中9331的遗传比例？,下一张,主 页,退 出,上一张,检验步骤： （一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9331的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9331的理论比例。 （二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4：自由 度df=k-1=4-1=31，故利用（71）式计算2。 （三）计算理论次数 依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：,黑色无角牛的理论次数T1：3609/16=202.5； 黑色有角牛的理论次数T2：3603/16=67.5； 红色无角牛的理

12、论次数T3：3603/16=67.5； 红色有角牛的理论次数T4：3601/16=22.5。 或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5 （四）列表计算2,下一张,主 页,退 出,上一张,表73 2计算表,=0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711 （五）查临界2值，作出统计推断 当df=3时，20.05(3)=7.81，因 20.05，不能否定H0 ，表明实际观察次数与理论次数差异不显著， 可以认为毛色与角的有无两对性状杂 交 二 代 的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9331的遗传比例。,下一张,主 页,退 出,上一张,第三节 独立性检验

13、,一、独立性检验的意义 对次数资料，除进行适合性检验外，有时需要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究两类药物对家畜某种疾病治疗效果的好坏，先将病畜分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数和未治愈头数。,这时需要分析药物种类与疗效是否相关，若两者彼此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不相同；若两者相互独立，表明两种药物疗效相同。这种根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独立的假设检验就是独立性检验。独立性检验实际上是基于次数资料对子因子间相关性的研究。,下一张,主 页,退 出,上一张,独立性检验与适合性检验是两种不同的检验方法，除了研究目

14、的不同外，还有以下区别： （一） 独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组。根据两因子属性类别数的不同而构成22、2c、rc列联表（r 为行因子的属性类别数， c 为 列 因子的属性类别数）。而适合性检验只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。,（二）适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。独立性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。 （三）在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1。而在rc列联表的独立性检验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的

15、约束：,下一张,主 页,退 出,上一张,1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和； 2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该行实际次数的总和 。 但由于r个横行实际次数之和的总和应等于 rc 个实际次数之和 ，因而独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）（直列属性类别数-1）。,二、独立性检验的方法 （一）22列联表的独立性检验 22列联表的一般形式如表710所示，其自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在进行2检验时，需作连续性矫正，应计算 值。,下一张,主 页,退 出,上一张,表710 22列联表的一般形式,下一张,主 页,退 出,上一张,其中Aij为实际观察次数，Tij为理论次数。,【例7.7】 某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防效果。结果是注射疫苗的44头中有 12 头发病，32头未发病；未注射的36头中有22头发病，14头未发病，问该疫苗是否有预防效果？ 1、 先将资料整理成列联表,表711 22列联表,下一张,主 页,退 出,上一张,2、 提出无效假设与备择假设 H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立