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1、2.2函数的单调性与最值 知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义(2)函数单调性的三种等价形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么x1x20，若f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)函数yf(x)在0，)上为增函数，则函数yf(x)的增区间为0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P39B组T3)下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是()Ay2x Bylogx
2、 Cyx1 Dyx3答案C解析函数y2x在区间(，0)上是增函数；函数ylogx在区间(，0)上无意义；函数yx1在区间(，0)上是减函数；函数yx3在区间(，0)上是增函数故选C.(2)(必修A1P45B组T4)已知函数f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是()A3a0 B3a2Ca2 Da1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)x2ax5在(，1单调递增，函数h(x)在(1，)单调递增，且g(1)h(1)，解得3a2.故选B.3小题热身(1)(2014天津高考)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)答案D解析由x240得x2.令ux2
3、4，易知ux24在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)故选D.(2)(2017保定期末)直角梯形OABC中ABOC，AB1，OCBC2，直线l：xt截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数Sf(t)的图象大致为()答案C解析由题意可知：当0t1时，f(t)t2tt2，当10.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数本题用定义法解(1)由2f(1)f(1)，可得22aa，得a.(2)证明：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)a(x1x
4、2)(x1x2).0x1，0x2，00，f(x)在0，)上单调递减方法技巧确定函数单调性(区间)的常用方法1定义法：本例采用了定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论其关键是作差变形见典例2图象法：如冲关针对训练1.3导数法：本例也可采用求导法利用导数取值的正负确定函数的单调性见冲关针对训练2.冲关针对训练1已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析依题意知f(x)在R上是增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a0)在(0，)上的单调性解f(x)x(a0)，f(x)1，令f(x)0，
5、计算得出x，当f(x)0，即x时，f(x)单调递增，当f(x)0，即0x0，得x4或x0.y1.由y0解得x1.列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)条件探究若本典例变为f(x)axln x研究单调区间时，应注意什么问题？解由于参数a范围未定，所以要对a进行分类讨论f(x)axln x的定义域为(0，)，f(x)a，当a0时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0，x时，f(x)0；故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.方法技巧1研究函数的单调性及求单调区间问题，首先求出函数的定义域(定义域优先原则)2对已知函数解析式的构成进
6、行分析，变形转化，变成几个基本初等函数组成的形式，再根据基本初等函数的性质，研究函数的单调性例如：典例1函数f(x)ln (x22x8)是由yln u，ux22x8复合而成的，u是中间变量典例2条件探究函数f(x)x22|x|3，带绝对值符号的可去掉绝对值符号，化为分段函数f(x)3若函数解析式是由yln x，yex与其他基本函数构成的复杂函数，需要考虑求导法如典例3.冲关针对训练1(2017洛阳二模)函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.B，1C(，0)D，答案B解析由图象可知，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)和，单调递增区
7、间为.0ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac本题利用对称性转化到同一单调区间，再用单调性比较大小答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，所以aff，故bac.故选D.角度2利用函数的单调性解不等式f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8)本题用转化法，利用函数单调性把不等式从抽象转化到具体答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.故选B.角度3利用函数的单调性求最值(2017福州一模)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为()A2 B3 C4 D1本题采用数形结合思想答案C解析根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的
