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1、,平面与平面立体相交,平面与曲面立体相交,内 容,平面 基本体 截交线,平面体,回转体,截平面,共有线,截交体的概念,本节重点：截交线求法,一个立体被切去一部分后余下的立体， 称为截交体。,平面截交体,平面体截切的基本形式, 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。, 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。,截交线的性质：,平面截交体的画图, 求截交线的两种方法：, 求各棱线与截平面的交点棱线法。, 求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。, 求截交线的步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交
2、线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,问题的提出：,工程上常常遇到以上图例中平面与立体相交的问题。平面与立体相交，可设想为立体被平面（截平面）所截，截平面与立体表面的交线称为截交线。,重点： 求截交线,截交线的特点：截平面与立体表面共有点的集合。截交线形状是由直线组成的多边形。多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。,求截交线的方法：,求截交线的方法：可归结为求截平面和立体表面共有点的问题。实际上是求立体参与相交的各棱线和底面边线与截平面的交点。,平面截交体的投影,例：求五棱柱被截头后的三
3、面投影。,空间分析：,作图步骤：,1、画出五棱柱未被截切时的侧面投影。,2、求参与相交的各棱线与截平面交点的投影。,3、判别可见性并连线。,4、补齐轮廓线。,4条棱线及2条底边参与相交，因此截交线为一平面六边形。,平面与棱柱体相交,例：求截头三棱锥的投影图,空间分析：,作图步骤：,1、求参与相交的各棱线与P平面交点的投影。,2、判别可见性并连线,3条棱线参与相交，因此截交线为一平面三角形。,截头三棱锥,平面与棱锥体相交,例：求四棱锥被截切后的三面投影。,3,2,1,(4), 空间分析,交线的形状？, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性,例：求四棱锥
4、被截切后的三面投影。,例,A,B,C,P,求截交线并完成截头三棱锥的三投影,先求棱锥侧投影,求截交线,a“,c“,b“,a,c,b,a,b,c,截交线求法,截平面棱线=交点,棱线法,例,求截交体的侧投影,P为正垂面，p“、p为类似图形 p“为四边形,投影分析,Q为铅垂面，q“、q为类似图形 q“为五边形,P,Q,按“三等”关系作图,p,p,q,q,p“,q“,1,2,3,4,1,4,3“,4“,1“,2“,求p“,求q“,5,6,7,5(6),(7),5“,6“,7“,（2）,（3）,类似图形,“三等”关系,检查,多平面截切平面体,例：求四棱锥被截切后的三面投影。,注意： 要逐个截平面分析和绘
5、制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,例：求四棱锥被截切后的三面投影。,曲面截交体,回转体截切的基本形式,截交线的性质：, 截交线是截平面与回转体表面的共有线。, 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由 直线和曲线围成）。, 空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步
6、骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。,先找特殊点，补充若干中间点。,求平面与回转体的截交线的一般步骤,特殊点决定了曲线的范围，包括曲线的最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点；转向轮廓线上的点（判断曲线可见与否的分界点）； 中间点决定了曲线弯曲的方向。,平面与圆柱体相交,P轴线 截交线为圆,P/轴线 截交线为矩形,P 轴线 截交线为椭圆,P,P,P,曲面截交体的投影,同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。,例：求侧面投影,空间及投影分析,解题步骤：,分析圆柱体轮廓素线的投影,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,求截交线,圆柱体穿一圆孔，求侧面
7、投影,空间分析,例：求侧面投影,例：求侧面投影,截交线的已知投影？,例：求侧面投影,找特殊点,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓素线的投影,截交线的侧面投影是什么形状？,截交线的空间形状？,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。,截平面与圆柱轴线成45时,例 求圆柱体被平面P、Q截切后的投影,P,Q,截交线分析,P/圆柱体轴线，P圆柱面交线为直线,Q 圆柱体轴线，Q圆柱面交线为椭圆曲线,非圆曲线画法,找特殊点,中间点,光滑连接曲线,检查,外形轮廓线投影,p,q,若增加圆柱孔结果将如何？,内、外交线分别求解,求外表面交线,求内表面交线,检查孔的外形 轮廓线投影,注意检查 孔的外形轮廓
8、线投影 截平面与孔的交线,检查交线,无线!,平面与圆锥体相交,P,P轴线 交线为圆,P,P 轴线 交线为椭圆,平面P与圆锥面的交线,P 轴线 = 交线为抛物线,P,P,P 轴线 0 交线为双曲线,平面P与圆锥面的交线,平面P与圆锥面的交线,P,P过锥顶 交线为直线,P轴线,交线为椭圆,P 轴线 ,P 轴线 =,P 轴线 0,交线为抛物线,交线为双曲线,P过锥顶,交线为直线,交线为圆,归纳,例 求截交线,截交线分析,截交线为椭圆,椭圆画法,是什么点？,椭圆短轴的投影,截交线投影分析,特殊点 中间点 光滑连接曲线,交线可见性,P,P,截交线投影仍为椭圆,检查,外形轮廓线投影,外形轮廓线 终止点 截
9、交线投影 虚实分界点,单个平面截切圆锥体,例1：,多个平面截切圆锥体,平面与球体相交,平面与圆球体相交其截交线均为圆,例,P,Q,P面交线的H投影 为圆弧曲线,投影分析,Q面交线的W投影 为圆弧曲线,f,o,a,c,b,d,o,b,c,a,d,d,b,c,a,o,f,e,e,e,f,1,1,1,例：求球体截切后的投影图。,综合举例:复合回转体的截切,求作水平投影,p,q,p“,q“,双曲线,P,Q,求与大圆柱的交线,求与小圆柱的交线,求与圆锥的交线,加深,求截交线的本质, 求截平面与立体的共有点,立体的形状,截平面相对于立体的位置,截交线的形状,取决于,截交线投影的形状,取决于截平面相对于投影面的位置,小 结,截平面与立体的相交形式,单体单面,基本形式,单体多面,多体多面,分别分析单面 与单体交线,截平面与截平面 之间的交线分析,体与体连接处的 交线分析,求截交线的基本方法步骤,定性分析,截交线的形状分析与投影分析,截交线画法,平面体,棱线法,回转体,非圆曲线,找特殊点 找中间点 光滑连线并判断可见性,回转体外形轮廓线投影的检查,检查方法,类似图形检查,“三等”关系检查,检查什么,孔的交线问题,
