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1、2008 2009学年第二学期线性代数B试卷 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题(共6小题,每小题 3 分,满分18分)1. 设,则.2. 为阶方阵,且 .3设方阵 B为三阶非零矩阵,且AB=O,则 .4. 设向量组线性无关,向量b不能由它们线性表示,则向量组b 的秩为 .5设A为实对称阵,且|A|0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= 设的两组基为,;T,则由基到基的过渡矩阵为 . 得 分 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)1. 设Dn为n阶行列式,则Dn0的必要条件是 .(A) Dn中有两行元素对应成比例;(B) Dn中
2、各行元素之和为零; (C) Dn中有一行元素全为零;(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a,b,g 线性无关,a,b,s 线性相关,则 .(A) a必可由b,g,s 线性表示;(B) b必可由a,g,s 线性表示;(C) s必可由b,g,a 线性表示;(D) g必可由b,a,s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0,1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P(P1,P2,P3),则P1AP .(A); (B) ; (C) ; (D) 设1,2,3线性无关,则下列向量组线性相关的是 .(A)1,2,3 - 1; (B)1,1+2,1+3;(C)1+2,2+3,3+1; (
3、D)1-2,2-3,3-1.若矩阵A34有一个3阶子式不为0,则A的秩() = . (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 实二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 . (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| 0 ; (D) R(A) = n .得 分 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)1.求的值. 求向量组,的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.设A、P均为3阶矩阵,且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ4设是阶实对称矩阵,若,求.5.设矩阵相似于对角矩阵L,求a.得 分 四、(本题满分10分
4、)对线性方程组(1) 若两两不等,问方程组是否有解,为什么?(2)若, (b0),且已知方程的两个解, ,试给出方程组的通解得 分 五、(本题满分8分)设二次曲面方程()经正交变换,化成,求、的值及正交矩阵Q.得 分 六、(本题满分6分)设A为n阶实矩阵,为A的对应于实特征值的特征向量,为AT的对应于实特征值的特征向量,且,证明与正交2008 2009学年第二学期线性代数B试卷参考答案 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题(共6小题,每小题 3 分,满分18分)1. 设,则2.2. 为阶方阵,且 0 .3设方阵 B为三阶非零矩阵,且AB=O,则 -3 .4. 设向量组线性无
5、关,向量b不能由它们线性表示,则向量组b 的秩为 m+1.5设A为实对称阵,且|A|0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=_ 设的两组基为,;,,则由基到基的过渡矩阵P=得 分 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)1. 设为n阶行列式,则0的必要条件是D.(A) 中有两行元素对应成比例;(B) 中各行元素之和为零; (C)中有一行元素全为零;(D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a,b,g 线性无关,a,b,s 线性相关,则 C .(A) a必可由b,g,s 线性表示. (B) b必可由a,g,s 线性表示. (C) s必可由b,g
6、,a 线性表示. (D) g必可由b,a,s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0,1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P(P1,P2,P3),则P1AP B .(A); (B) ; (C) ;(D) 设1,2,3线性无关,则下列向量组线性相关的是 D (A)1,2,3 - 1; (B)1,1+2,1+3;(C)1+2,2+3,3+1; (D)1-2,2-3,3-1.若矩阵有一个3阶子式不为0,则 C . (A)()=1; (B) ()=2; (C) ()=3;(D) ()=4 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 A (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C)
7、 |A| 0 ; (D) R(A) = n.得 分 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)1.求的值解:. 求向量组,的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解:极大无关组, ,.设A、P均为3阶矩阵,且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ解:由于Q=(1+2,2,3)= (1,2,3) 于是QTAQ=4设是阶实对称矩阵,若,求.解: 由知, 的特征值-2或0,又,且是阶实对称矩阵,则(k个-2),故5.设矩阵相似于对角矩阵L,求a.解: 由|E-A|=0,得A的三个特征值1=2=6,3= -2.由于A相似于对角矩阵,R(A-6E)=1,即,显然,当
8、a=0时,R(A-6E)=1,A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量得 分 四、(本题满分10分)对线性方程组(1) 若两两不等,问方程组是否有解,为什么?(2)若, (b0),且已知方程的两个解, ,试给出方程组的通解解:(1)因为,故,无解(2),故通解得 分 五、(本题满分8分)设二次曲面的方程)经正交变换,化成,求、的值及正交矩阵Q.解:设,由知当时,当时,得 分 故正交阵.六、(本题满分6分)设A为n阶实矩阵,为A的对应于实特征值的特征向量,为AT的对应于实特征值的特征向量,且,证明与正交证 :依题意得A=, AT=,将A=的两边转置得,TAT =T,在上式的两边右乘得,TAT =T,即T=T,亦即(-)T=0,由于,所以T=0,故与正交(共 6 页 第13页)