高等数学上期中考题

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1、高等数学上册期中考题2012.11.10一、填空题（每小题4分，共24分）1. 2. 设，则 3. 设则 是第一类间断点. 是第二类间断点。4. 要使，在处连续，必须 ， 。5. 当时，是比高阶的无穷小，则当时，无穷小与无穷小的关系是 。6. .二、计算下列各题（第11题为6分,其余各小题7分,共76分）1. 设，求。2. 设，其中可导，求 。3. 已知，其中为二阶可导，且，求。4. 证明：当时，。5. 设在上可导，且，证明：在内有唯一零点。6. 求的极值。7. 求极限。8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的立方成正比,已知速度为时,每小时的燃料费用为元。其他费用每小时元,求最经济的行驶速

2、度。9.设，讨论导函数在处的连续性。10. 求在处带有Lagrange余项的Taylor公式。11. 设在上连续,在内可导，且，证明，使。2011年11月6日一、 填空（每小题3分，共18分）1. 要使在处连续，必须 ， .2. 设，则 .3. 设则 是的第一类间断点； 是的第二类间断点.4. 已知点(1,3)是曲线的拐点，则 ， .5. 若，则 .6. 已知函数，当 时， 为极小值，当 时， 为极大值.二计算下列各题（每小题9分，共63分）1. 设，求.2. 求极限.3. 已知，其中二阶可导，且.求.4. 设满足方程，且具有二阶连续导数. 若在处取得极值，问必为极大值还是极小值. 并证明你的

3、结论.5. 已知.求.6. 设，其中具有二阶连续导数，且. 确定的值，使在处连续. 求. 讨论在处的连续性.7. 已知轮船的燃料费与速度的立方成正比,当速度为10km/h,每小时的燃料费为80元,又其他费用每小时需480元,问轮船的速度多大时,才能使20km航程的总费用最少?此时每小时的总费用等于多少?三证明(第1题9分,第2题10分)1. 证明：(学习工科数学分析者作第题,其余作) 当时，. 设，证明.2. 设在(0,1)内二阶可导，且. 证明：至少存在一点，使.2010年11月10日一、填空题1若有无穷间断点及可去间断点，则 .2曲线的拐点是 .3若，在上连续，则 .4曲线由参数方程确定，

4、则曲线在的切线方程为 .5曲线的渐近线方程为 .二、单项选择题1是函数的（ ）A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D第二类间断点2设，其中是有界函数，则在处（ ）A极限不存在 B极限存在，但不连续 C连续、但不可导 D可导3在区间内，则在内是（ ）A单增凸 B单减凸 C单增凹 D单减凹4，则在点处（ ）A的导数存在，且 B取得极大值 C取得极小值 D的导数不存在三、计算下列各题1求极限; 4设由方程组，求确定，求.2求极限 3求函数的导数.5求函数在处带有皮亚诺余项的阶泰勒公式.四、设具有二阶连续导数，且（1）试确定的值，使在处连续（2）求（3）证明： 在处连续.五、函数在上有定义，在区间上

5、，. 假若对任意的都满足，其中为常数.（1）写出在上的表达式.（2）问为何值时，在处可导？六设函数都在上连续，在内可导，且求证：至少存在一点使2009年11月14日一 填空，（35=15分）.1. 2.设,则= 3.设函数 要使f(x)在x=0处连续,a=_ _ _,b=_ _4.已知 当时,与是等价无穷小,则a=_ _5.函数的单调增区间为_ _,单调减区间为_ _二.单项选择题 (35=15分) 1.设数列的通项为,则当,数列是( ) A 无穷大量 B 无穷小量 C 有界变量 D 无界变量 2.下列各式中正确的是( ) A. ; B. ; C. ; D.3.设函数 则f(x)在点x=0处(

6、 ) A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续 D 可导 4.设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值,则在x=a处( ) A 必取极大值 B 必取极小值 C 不可能取极值 D 是否取极值不能确定 5.设,则当时,f(x)是g(x)的( ) A等价无穷小 B 同阶但非等价无穷小 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小三.解答下列各题: (710=70) 1.设, 求; 2.设 ,求 3. 求极限: ; 4.设 求f(x)的极值. 5.求曲线的拐点及凹向区间. 6.设曲线由方程所确定，求曲线在处的切线方程。 7.讨论函数 的连续性,并确定其间断点类型 8.设,证明.9.学工科分析者作(1),其余

7、作(2) (1) 设数列满足证明极限存在. (2) 已知 ,试确定常数a,b的值. 10.设函数在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,试证:存在,使2008年11月一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1设求. 2设，求.3讨论函数，在点的连续性与可导性.4求曲线在点处的切线及法线方程. 5求极限.61 设，证明数列和都收敛，并且. 2 已知数列，其中是给定的非零常数，求.7设，求.8求函数的间断点，并指出间断点的类型.9设，试证不等式.10讨论函数的单调性，凸性和拐点.二、设有次方程，其中.证明：方程有且仅有三个实根.三、和是两条交于点的直线公路，. 汽车以每小时的速度由向行驶. 而摩托

8、车以每小时的速度由向行驶. 若汽车与摩托车同时开动、问经过多少小时它们的距离最近.四、设，其中有二阶连续导数.且，求 讨论在上的连续性.五、设在上二阶可导，且,又，证明:存在，使.2007年11月一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1.设，求.2.求由参数方程所确定函数的二阶导数.3设由方程所确定，求.4求极限5.设具有连续的二阶导数，且，试求极限.6求函数的微分.7.求函数的单调区间和极值. 8.求极限9已知当 时，与是等价无穷小，求和的值。10. 一个圆形铝片加热时，随着温度的升高而膨胀，设该圆片在温度为时，半径为，其中为常数，求在C时圆片面积，对温度的变化率.二、（9分）试证明：在区

9、是内，恒有不等式 成立三、（9分）从半径为的圆上裁下中心角为的扇形，卷成一个圆锥面，问当取何值时，补上底面后所围成的园锥体体积最大？四、（9分）设函数，其中为常数，（1）求的表达式（无极限符号）.（2）试确实常数，使五、（7分）试证明数列有界的充分必要条件是的任意子列都有收收敛的子列。六、（6分）设在上连续，在内可导，且，试证：对任意实数，必存在，使得。2006年11月一、解答下列各题（每小题7分，共70分）1 求。 2。求极限。3求函数的间断点，并判定其类型。4(注：学习工科分析的做(1)题；学习高等数学基础的做(2)题)(1) 设非空数集A的上确界为M，数集，证明。 (2) 讨论函数在处的

10、连续性及可微性。5设，求。 6设是由方程所确定的隐函数，求曲线在的切线方程。7设数，求。8求的单调区间与极值。9试证方程有且仅有三个根。10. 设，证明存在。二、证明。三、设二阶导数连续，且，求。四、一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常，问圆柱体的高与底面半径为多少时，此立体有最小表面积。五、(注：学习工科分析的做(1)题；学习高等数学基础的做(2)题)（1）设在上连续，在内可导，且，若在上的最大值为，证明存在两个不同的点，使得 .其中是大于1的整数（2）设在上连续，在内可导，且，证明存在点，使得 。2005年11月一、解答下列各题（每小题7分，共70分）

11、2 设，其中存在，求。 3 求由参数方程所确定函数的二阶导数。3设由方程确定，求。4求极限5已知存在，并且，求的值. 6求极限，其中。7求函数的微分。8证明：当时，。9求函数的单调区间和极值。10. (注：学习工科分析的做(1)题；学习高等数学基础的做(2)题)(1) 设数列，证明存在并求此极限。 (2) 设，若极限存在且不为零，试求的值以及极限值。二、求函数的凹凸区间及拐点。三、一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台处装有摄影机，摄影机对准火箭。用表示火箭高度，假设在时刻，火箭高度，运动速度等于，(1) 用表示火箭与摄影机的距离，求在.时刻的增加速度。(2) 用表示摄影机跟踪火箭的仰角

12、(弧度)，求在时刻的增加速度。四、8分 设在上二阶可导，且，证明存在一点，使得。五、5分设在上连续，在内可导，且，证明存在两个不同的点，使得 。2004年11月一、解答下列各题（每小题7分，共70分）1.，求.2.已知曲线 ，求曲线在处的切线方程.3.知，求。4.求.5.设,且存在,试确定常数6. 求.7.求的微分8.当时,证明:.9.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/s.问在2s末扰动水面面积的增大率为多少?10.（注：学习工科分析的做题，其余的做题已知且.证明设求二、指出函数的间断点及其类型.三、设其中具有二阶连续导数，且1 确定a的值,使在处的连续性;

13、2.求;3.讨论在处的连续性.四、设在（0,1）内二阶可导.且.用泰勒公式证明:至少存在一点使.五、设在0,1上可导,且证明:在0,1上存在两点使得2003年11月一 、解答下列各题（每小题7分，共70分。） 设，求。 2 设 在处可导，试求 .3设由方程确定，求 。4.求极限。 5已知极限 ，求。 6.已知当 时，与 为等价无穷小，求. 7.设 ， 试讨论在处的连续性与可导性。 8.证明：当时, . 9设 又 , 求 . 10.（注:学习 工科分析的做（ 1）题；学习高等数学基础的做（2）题） (1) 证明：若非空实数集合有上界，则它的上确界是唯一的。 (2) 设 ，求。 二 、 证明函数在内部可能有两个零点，为使 在内存在零点， 应满足怎样的条件 ？ 三、 8分在曲线上求一点，使得经过点的切线与直线，及轴所围图形的面积最小。 四讨论函数的间断点及其类型。 五 设二阶可导，且， ，证明对于 有。2002年11月一、求解下列各题（每小题7分，共70分）1、设 ，求 2、