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1、第六章 平面问题的有限元法,平面问题的有限单元法,早在四十年代初，欧拉等人就提出了有限单元法的基本思想，但一直没有引起人们的足够重视。直到五十年代中期，才开始有人利用这种思想对航空工程中的飞机结构进行矩阵分析。其分析思路是，将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。这种处理问题的思路，在1960年被广泛用于求解弹性力学的平面应力问题，并开始使用“有限单元法”这一术语。,一、有限元法将随着电子计算机的应用而发展起来的一种有效的离散化数值解法,补充:有限元法的发展,几十年来，有限元单元法已在各个工程领域得到了广泛的应用，相应的
2、大型软件已成为现代工程设计中一个重要的不可缺少的计算工具。特别是近年来，由于计算机辅助设计在工程设计中日益广泛的应用，有限元程序包亦已成为CAD常用计算方法库中不可缺少的重要内容之一，并且与优化设计技术结合，形成了大规模的集成系统。工程设计人员使用这些系统，就可以高效而正确合理地确定最佳设计方案。,1、新型单元的研究 2、有限元法数学基础的奠定 3、向新领域的扩展 4、通用程序编制和设计自动 化的研究,二、有限元法的发展带动了其他领域的发展,三、近来研究较多的问题可归纳入下：,随着有限元法的不断应用和计算机的高速发展,很多工程软件已成为有效的科学计算手段并大量用于世纪工程中. 如：ANSYS
3、ADINA ABAQUS SAP5 SUPERSAP NFAP NASTRAN,这些软件虽仅是计算工具，但他们的发展也为有限元法的应用拓宽了领域，趋近于多元化，多角度多功能的计算。特别是前后处理的不断更新，优化，更使软件运用的得心应手。,有限元法的成就,下面是著名软件介绍：,Ansys软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体 的大型通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、 石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防 军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、 水利、日用家电等一般工业及科学研究。该软件可在大多 数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计 算机，An
4、sys文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼 容。Ansys软件多物理场耦合的功能,允许在统一模型上进 行各式各样的耦合计算,如：热流体耦合,磁电耦合, 以及电磁流体热耦合，确保了所有的Ansys用户的 多领域多变工程问题的求解。Ansys基于Motif的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入 和功能选择，为用户使用Ansys提供“导航”。,Ansys 简介,该程序最为显著特点是加入交互式操作方式,即能在分析前用交互式图形为验证模型的几何形状,材料及边界条件。分析之后又能立即用图形交互的检查分析结果。,2 该程序提供一个循序渐进的能力表,包括高级结构非线性,电磁场,计算流体
5、力学,设计优化一般接触面,自适应网格划分，大应变,有限转动动能和参数化建模.,一、Ansys软件作为一个大型通用的有限元程序,其功 能以为全世界公认, Ansys软件特点如下:,软件的设计分析和优化功能也可很方便地应用到CAD系统生成的模型上。新增强的功能,使程序更灵活更好用,计 算速度更快。,3 为用户使用本程序提供直观的途径界面,并配有完整的联 机声明及帮助系统.供用户完成深入应用课题。,二、 Ansys软件提供了一个不断改进的功能清单， 具体包括：,结构高度非线性仿真 Ansys采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强 问题的收敛性，提供了自适应下降、线性搜索、自动 载荷步、二分法及弧长法
6、等一系列命令。可以计算由 大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问 题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状 态非线性问题。,热分析 Ansys热分析基于能量守恒原理的热平衡方程， 用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参 数。包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。此 外，还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。 热分析用于计算一个系统或部件的温度分布，如热量 获取或损失、热梯度、热流密度等。,电磁分析 Ansys可分析电磁场的多方面问题，如电感、电 容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运 动效应、电路和能量损失等。可用于有效地分析下面 所列的各类设备：电力发电机
7、、变压器、螺线管传动 器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁 悬浮装置、波导、开关等。,设计优化 Ansys提供了两种优化方法，它们可以处理大多 数的优化问题。零阶方法是一个很完美的处理方法， 可以很有效的处理大多数的工程问题。一阶方法基于 目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精 确的优化分析。优化中Ansys采用一系列的分析-评估 -修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计 满足要求为止。,利用Ansys参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能 APDL有参数、数组参数、表达式和函数、分支和 循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。,SAP5 简介,SAP5程序是线性静力
8、和动力响应结构分析程序。它是美国加利福尼亚大学伯克利分校的K.J.Bathe、E.L.wilson、F.E.peterson等教授共同研制成功的，它是目前国际上著名的大、中型结构分析通用程序之一。,SAP5程序是1979年传到我国，先后在IBM370/138， 西门子7760、7738等大、中型机上移植成功。经几年全国 各个领域的应用，收到了极其显著的效果。1986年春北京 大学教授吴良芝教授、曲圣年教授等又将SAP5程序的全部 功能移植到IBM系列微型机上，并定名为SAP5P 。,SAP5P微机程序与SAP5程序在使用上完全兼容，而且 SAP5P还具有操作简单、使用方便、前后处理功能齐全等
9、优点。,SAP5程序是目前国内外深受欢迎的大型结构静、 动态分析程序，程序具有模块化的特点，功能强、计算可靠，是目前国内外通用的优秀结构分析程序之一。,静力分析功能 程序可根据输入信息自动生成单元和节点信息， 并配有节点优化。形成单元刚阵，总刚阵，输出节点 位移和单元应力，需要时，还能打印输出单元刚阵和 总刚阵。,一、 SAP5分析功能：,求解特征值方程 程序可求解自由振动的固有频率和振型，解特征 方程分别采用行列式搜索法和子空间迭代法。同时还 可以用斯特姆序列检验是否漏根。,历程响应分析 当结构的基础发生移动或结构上某些部位受有随时间变化的任意强迫力时，程序提供了计算此结构的历程响应，即求解
10、结构随时间变化的瞬间位移值和应力值。外力可以是任意形式的，如强迫函数，用表格表示的冲击或脉冲等。,响应谱分析 当基础的运动极不规则，或激励的历程不可予知，而仅能估计其可能发生的最大值时（如汽车在地面上行驶、地震等），为求结构物在NF阶频率之下的最大位移和应力响应，程序先通过解出前NF个频率。输入相应的谱曲线（如地震谱、路面谱等），再通过谱分析得到结构前NF个频率所对应的最大响应，然后按一定方式进行叠加。,频率响应分析 频率响应分析是求当基础作谐运动时结构的稳态响 应，它同样利用求解特征方程所得到的低阶NF个振型。做振型分析，通过输入对应每一频率的振幅与阻尼，分别求得结构在最低阶NF个频率下的位
11、移响应，由于位移响应是谐振动，因此即可知其振幅与位相。我们取一系列NF个频率，就可求解得结构的幅频特性，也可称为频率响应历程。,二、 SAP5程序使用功能：,节点与单元信息的自动生成 为简化大量数据准备工作，程序各单元的节点，最 多可以有6个自由度，节点坐标与约束信息可以按一维 线性插值自动生成，用直角坐标与柱坐标均可，节点号 是按等差数列增长。性质相同的单元信息也自动生成。,2. 节点带宽优化 SAP5程序对复杂结构在单元划分中形成的较大带宽采用Cutkill-mokee方法，解得最小带宽。,动力分析的再启动功能 对于大中型的算题，求解出系统的特征对后，可将 求出的频率、振型及其它动力分析参
12、数一起复制到再启 动文件上，以后只要启动再启动文件，就能多次重复计 算，而不需要重复计算结构的频率与振型。,3. 方程右端载荷组合 SAP5程序采用二级载荷组合组成方程右端的不同 载荷工况，第一级是将热载荷、体力载荷、面力载荷等作 为A、B、C、D四种载荷模式，各乘以载荷因子形成单 元载荷模式矩阵，作为单元特性的原始数据输入。第二 级通过载荷工况因子对四种单元载荷模式进行线性组合 形成各种所需的实际作用与结构的载荷，加上作用在节 点上的集中力，即形成方程右端的总载荷向量。,输出应力或位移的选择功能 SAP5程序对于不同单元类型有选择不同打印应力、 位移的功能，对动力分析除有选择的输出位移、应力
13、的 功能外，还有输出最大位移与最大应力响应的功能。,绘图功能 SAP5程序具有强大的绘图功能，可在绘图仪、显示器上绘图，可绘出变形前后的图形，结构振型图，局部结构变形图。,数据检查功能 SAP5程序有数检状态与计算状态两种，数检状态是 检查原始信息。在计算状态中，对每个运算阶段的内存 是否够用进行校核，发现问题转入检查状态或停机。,ADINA简介,ADINA是对固体,结构及结构-流体系统作静,动位移和应力分析的一个计算机程序。,与ADINA配套的线性和非线性,稳态和瞬态热传导分 析程序是ADINAT. 它们能解决：线性静力、动力问题，非线性静力、动 力分析问题；线性稳态瞬态温场问题， 非线性稳
14、态瞬态温场问题；热弹塑性分 析和液体与结构相作用等问题.,ADINA/ADINAT是非线性分析程序,他们可以进行几何非线性分析,材料非线性分析及非线性的稳态,瞬态温度 场计算.,(Automatic Dynamic Incremental Non linear Analysis),该程序讲究求解策略的灵活度，用户可自行调整迭带方法及时间步长大小，可自动进行处理，达到合适的步长，提高计算效率，保证计算精度,满足各种工程实际要求。,另外,ADINA/ADINAT是一个高度模块化程序,这 些模块构成层次清晰的结构树.ADINA/ADINAT是一 个利用内,外存进行交换来求解的程序,它高效率的利 用计
15、算机的高速内存区.,特点:,1 弹性力学与结构力学的区别,6-1 基本量和基本方程的矩阵表示,浅梁,深梁,平截面假设成立,平面问题的有限单元法,2 几何方程-位移与应变之间的关系,平面问题的有限单元法,-几何方程,3 物理方程-应力与应变关系,由广义虎克定律,对于平面应力问题,平面问题的有限单元法,对于平面应变问题,平面问题的有限单元法,其中:,应力向量,应变向量,弹性矩阵,将平面应力问题的弹性矩阵中的E换成 换成 。,6-2 有限元法的概念,一、有限元法的基本思想,假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续
16、体，再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。,平面问题的有限单元法,二、经典解与有限元解的区别：,平面问题的有限单元法,有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。,为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型,三、有限元法算题的基本步骤,1. 力学模型的选取,（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）,例如：,平面问题的有限单元法,根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。,2. 单元的选取、结构的离散化,例如：,平面问题的有限单元法,3. 选择单元的位移模式,（6-1）,单元内任一点的位移列阵；,单元的结点位移列阵；,单元
