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1、1.1.2 圆柱圆锥圆台和球,自 学 导 引,1.初步理解圆柱圆锥圆台和球的概念,掌握它们的生成规律. 2.了解圆柱圆锥圆台和球中一些常用名称的含义. 3.了解一些复杂几何体的组成情况,学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成. 4.结合日常生活中的一些具体实例体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辩证唯物主义观点,初步学会用类比的思想分析问题和解决问题.,课 前 热 身,1.圆柱:以_的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的_所围成的旋转体叫做圆柱. 2.圆锥:以_的_所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 3.圆台:用一个_圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间
2、的部分叫做圆台. 4.球:以_的_所在直线为旋转轴,_旋转一周形成的旋转体叫做球.,矩形,面,直角三角形,一条直角边,平行于,半圆,直径,半圆面,名 师 讲 解,1.圆柱圆锥圆台是怎样形成的 将矩形直角三角形直角梯形分别绕着它的一边一直角边垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的旋转体分别叫做圆柱圆锥圆台,可见它们都可以看作是由一个平面图形通过旋转而生成的.但特别注意,直角三角形必须绕一直角边旋转才可生成圆锥;直角梯形必须绕垂直于底边的腰所在的直线旋转一周才可生成圆台,换言之,绕其他边旋转一周所形成的几何体是组合体.如绕直角三角形的斜边旋转一周所形成的旋转体就是共底面的两个圆锥.,2.球与球面
3、的区别 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆弧绕着它的直径旋转一周而成的曲面叫做球面.球面也可看成是在空间到定点的距离等于定长的所有点的集合.球面仅仅指球的表面,而球即球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.,3.多面体与旋转体的区别 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,棱柱棱锥棱台是最简单的多面体,其他较复杂的多面体可看成是这三者的组合. 一条平面曲线绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体,这条定直线称为旋转体的轴.,多面体的各个面都是平面多边形,而旋转体有的底面是圆面,而其他面都是曲面(如圆
4、柱圆锥圆台),有的旋转体则没有底面,只有一个曲面(如球).圆柱圆锥圆台和球是最简单的旋转体,其他较复杂的旋转体可看成是它们的组合.当然有些复杂的几何体可由简单的几何体(多面体和旋转体)组合而成.,典 例 剖 析,题型一 旋转体的概念,例1:下列说法不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 C.半圆绕定直线旋转一周形成球 D.圆台中平行于底面的截面是圆,解析:在C中,不符合定义,旋转轴不确定,而ABD正确. 因此选C.,答案:C,规律技巧:由定义知圆锥的轴截面是一个等腰三角形.圆柱的轴截面是矩形.球的截面是圆面.,变式训练1:有下列命题: 在圆柱的上
5、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; 在圆台上下底面圆周上各取一点,这两点的连线是圆台的母线; 圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( ) A. B. C.D.,解析:对于两点的连线不一定在圆柱圆台的曲面上,当然有可能不是母线了.由母线的定义知正确.,答案:D,题型二 简单计算问题,例2:把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上下底面半径的比是1:4,母线长为10 cm,求圆锥的母线长. 解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上下底面半径分别为x cm4x cm.作圆锥的轴截面如右图所示. 在RtSOA中,OAOA, SA
6、:SA=OA:OA, 即(y-10):y=x:4x.y=13. 圆锥的母线长为13cm.,规律技巧:由圆锥的生成规律知道,圆锥的轴截面是等腰三角形.画出示意图,利用平面几何知识作答.,变式训练2:一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30,则圆锥的高为( ) C.20 cm D.10 cm,解析:设圆锥的母线长为l,高为h, 则h=lcos30=,答案:A,题型三 组合体问题,例3:(1)用变化的观点说明圆台与圆柱圆锥之间的相互联系? (2)一个有30的直角三角板绕其各条边旋转所得几何体都是圆锥吗?如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180所得什么图形?旋转360所得又是什么图形?,分析
7、:(1)圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台上下底半径接近相等时,圆台接近于圆柱;当圆台上底半径接近于零时,圆台接近于圆锥. (2)直角三角形绕其直角边旋转一周所围成的几何体是圆锥,绕斜边旋转一周围成的图形是两个圆锥的组合体.,图(1)图(2)旋转一周围成的几何体是圆锥,图(3)是两个圆锥的组合体,图(4)旋转180是两个半圆锥的组合体,旋转360与图(2)的形状一样.,变式训练3:一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,如下图所示,则截面的可能图形是( ) A. B. C. D.,解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得;当截面过正方体的体对角线时得;当截面既不过体对角线又不平行于侧面时得;无
8、论如何都不能截得.,答案:A,易错探究,例4:判断下图所示的几何体是不是台体?为什么?,错解:不是台体,因为都不是由棱锥截得的.是台体.因为是由棱锥所截得棱台,是由圆锥所截得的圆台.,错因分析:图示不是棱台,虽然它是由棱锥所截,但截面和底面不平行,故不是台体.其错误的原因是根据概念的某一个结论去判断几何体,没有按照定义或定义的等价条件去判断.,正解:都不是台体.因为和都不是由棱锥截得的.故和不是台体.虽然是由棱锥截得的,但截面和底面不平行,故不是台体.是一个台体,因为它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得.,基础强化,1.截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ) A.圆台
9、B.圆柱 C.圆锥 D.球,答案:D,2.给出下列命题: (1)圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线; (2)圆台的任意两条母线所在直线必相交; (3)球面作为旋转面,只有一条旋转轴,没有母线. 其中正确的命题有( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个,解析:(2)正确,(1)(3)错.,答案:B,3.下图是由哪个平面图形旋转得到的( ),答案:A,4.半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲面是( ) A.半球B.球 C.球面D.半球面,答案:C,5.给出下列命题: (1)圆柱的任意两条母线互相平行; (2)球上的点与球心距离都相等; (3)圆锥被平行于底面的平面所截,得到两个几何体
10、,其中一个仍然是圆锥,另一个是圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0B.1 C.2D.3,解析:(1)(3)正确,(2)错.,答案:C,6.圆柱圆锥圆台的轴截面分别是_.,7.连结球面上经过球心的两点形成的线段是球的_.,矩形,等腰三角形,等腰梯形,直径,8.指出如下图所示图形是由哪些简单几何体构成.,答案:(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体. (2)是由一个圆锥和一个四棱柱组成的几何体.,能力提升,9.已知一个半圆的半径是4,将它卷成两个完全相等的圆锥,求圆锥的底面圆面积.,解:依题意知,圆锥是由半径为4的四分之一圆卷成的,则圆锥的底面圆周长等于半径为4的四分之一圆的弧长,即为
11、24=2.设圆锥的底面圆半径为r, 2r=2, r=1. 故所求圆的面积S=r2=(平方单位).,10.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上下底面半径的比是1:4,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台的母线长.,解:设圆台的母线长为y,截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别为x4x,如下图所示.根据相似三角形性质得 解得y=9.,答:圆台的母线长为9 cm.,11.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号). 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体,解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若所取四点共面,则只能是表面或对角面,即正方形或长方形. 正确,错误.棱锥A1-AB1D1符合,正确;棱锥A1-BDC1符合,正确;棱锥A-BD1D符合,正确.,答案:,12.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为_.,解析:如图,AM=MN,AMN=90. 设AM=a,则 AN2=CN2+AC2, 2a2=4+4(a2-4), 解得,
