《2019年高考数学一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案 理 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节不等式的证明考纲传真(教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法(对应学生用书第206页)基础知识填充1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)(2)柯西不等式的向量
2、形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等(1)比较法：比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号比商法：若B0，欲证AB，只需证1.(2)综合法与分
3、析法：综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，
4、一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCbcaDcabA“分子”有理化得a，b，c，所以abc.4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_. 【导学号：79140398】4由题意得，ab1，a0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0
5、，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.(对应学生用书第207页)比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.证明法一：()0，.法二：由于111.又a0，b0，0，.规律方法作差比较法证明不等式的步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与“1”的大小.跟踪训练(2018临川一中)设ab，求证：a46a2b2
6、b44ab(a2b2)证明因为a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2)24ab(a2b2)4a2b2(a2b22ab)2(ab)4.又ab，所以(ab)40，所以a46a2b2b44ab(a2b2)综合法证明不等式(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB
7、1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”.2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.跟踪训练已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)ab1，a0，b0，2224448(当且仅当ab时，等号成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.用分析法证明不等式(1)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc；(2)设x1，y1，求证xyxy. 【导学号：79140399】证明(1)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即
8、证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立(2)由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立规律方法分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作
9、为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.跟踪训练(2018广州综合测试(二)(1)已知abc1，证明：(a1)2(b1)2(c1)2；(2)若对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立，求实数a的取值范围证明(1)法一：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25.所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2.因为a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(a2b2c2)，所以3(a2b2c2)(ab
10、c)2.因为abc1，所以a2b2c2.所以(a1)2(b1)2(c1)2.法二：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25.所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2.因为a2a，b2b，c2c，所以a2b2c2(abc)因为abc1，所以a2b2c2.所以(a1)2(b1)2(c1)2.法三：因为(a1)2(a1)，(b1)2(b1)，(c1)2(c1)，所以(a1)2(b1)2(c1)2(a1)(b1)(c1)因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2.(2)设f(x)|xa|2x1|，则“对任意实数x，不等式|xa|2
11、x1|2恒成立”等价于“f(x)min2”当a时，f(x)此时f(x)minfa，要使|xa|2x1|2恒成立，必须a2，解得a.综上所述，实数a的取值范围为. 柯西不等式的应用已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值解(1)证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号(2)因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时，x2y2z2有最小值.规律方法1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.跟踪训练(2017江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
