川大自动控制原理第十章

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1、第十章,非线性控制系统,自动控制原理,本章主要内容,非线性控制系统概述 相平面法 非线性系统的相平面分析 描述函数法 非线性系统的描述函数分析 了解 熟悉 掌握,1. 非线性系统的基本概念 不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统； 非线性是宇宙间的普遍现象，实际系统都是非线性系统，线性系统只是在特定条件下的近似描述； 系统的非线性程度比较严重，无法近似为线性系统时，只能用非线性系统的方法进行分析和设计； 非线性系统的运动形式多样，种类繁多； 有两种常见情况: 系统中存在非线性元件；为了某种控制目的，人为引进的非线性。,10.1 非线性控制系统概述,液位系统中，H为液位高度，Qi

2、 为液体输入流量，Qo为液体输出流量，C为储液罐的截面积。,根据水力学原理知,系统的输入输出动态方程为,属于非线性微分方程。,k 是取决于液体粘度的系数,非线性系统的简单例子（见第二章）,非线性特性中，死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性是最常见的，也是最简单的。,其中 和 为非线性函数。,一个单输入单输出非线性特性的数学描述为,2. 非线性系统的一般数学模型,3. 常见的典型非线性特性,(1) 死区特性（不灵敏区特性）,特征：当输入信号较小时，系统没有输出; 当输入信号大于某一数值时才有输出。,测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。,对系统性能的主要影响：使稳态误差增大；产生时间滞后；优

3、点是能滤去小幅值的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。,对液位误差设置死区，可防止执行机构频繁动作，减少对执行机构的磨损，还可消除小幅度检测噪声的影响。,液位系统,调节阀,控制器,检测,误差,输入流量,液位,利用死区特性的应用例 液位控制系统,特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。,放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。,(2) 饱和特性,主要影响：在大信号作用下，放大倍数减小稳态精度，快速性 ，但相对稳定性。（分析例见p56）,当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时（输入饱和），水位就会下降，出水流量也随之减小，达到平衡时水位会低于设

4、定值。,饱和特性导致稳态误差的例子 水箱水位控制系统,电机系统在重载情况下，输入电压饱和，转速会低于设定值（转速使电流、转矩）。,电机 系统,功率 放大器,PID转速 调节器,转速检测,误差,输入电压,转速,饱和特性导致稳态误差的例子 电机调速系统,如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。,(3)间隙（或滞环、回环）特性,影响：通常会使系统的输出在相位上产生滞后，导致稳定裕量减小、动态性能恶化，甚至产生自持振荡。,理想继电器,具有死区的继电器,(4) 继电器特性,例：开关型控制的电冰箱、电熨斗等,具有滞环的继电器,具有死区和滞环的继电器,典型非线性环节的正弦响应,4. 非线性系统的特点,不

5、适用叠加原理（与线性系统的本质区别），没有一种通用方法来处理各种非线 性问题 稳定性等性能分析复杂而困难 稳定性等不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。,线性系统：只有一个平衡状态 非线性系统：可能有多个平衡状态,例：线性系统 的稳定性和平衡点,无论初始状态为何值，都有 ， 系统稳定，只有一个平衡状态 。,例：非线性一阶系统,设系统的初始状态为 x0 ，则解为,令 ，可知该系统存在两个平衡状态,x(t) 如 、 ,平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。,自持振荡：指没有外界周期变化信号作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率

6、的稳定周期运动。 线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动，但其振幅并不固定，取决于初始状态，所以不是自持振荡（参见p30）。,可能存在自持振荡（极限环）现象,在正弦输入下，线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号；而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。,频率响应发生畸变,非线性系统分析的重点： 某一平衡点是否稳定，如果不稳定或性能不好应如何校正； 系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅； 如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。,5. 非线性系统的分析与设计方法,非线性系统的基本研究方法： 小范围线性近似法 逐段线性近似法 相平面法（时域法，重点

7、） 图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。 描述函数法（频域法：只保留基波，近似为线性） 适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。 李雅普诺夫法（构造正定能量函数，使其导数负定） 计算机仿真法,10.2 相平面法,相平面法的基本概念 相轨迹的绘制 由相轨迹图求时间及时间响应 奇点与极限环的类型 非线性控制系统的相平面分析,相平面：由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。,一、相平面法的基本概念,针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统（也可用于线性）:,相轨迹图：相平面 + 相轨迹簇,相轨迹：系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点（ ）出发，随时间变化在相平面上描绘出来的

8、轨迹。,例: 单位反馈系统,属于绘制相轨迹图的解析法之一,考虑非线性系统方程：,(1)相轨迹的斜率,斜率表示相轨迹通过该点的运动方向,相轨迹的基本特征,任一普通点有且只有一条相轨迹通过。 （其斜率唯一确定）,(2)相轨迹的普通点,(3)相轨迹的奇点(平衡点),相轨迹上斜率不确定的点,满足,奇点一定在 x 轴上,通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至有无穷多 条； 线性定常系统通常只有一个奇点（原点或 x 轴上 的其他点），而非线性系统则可能有多个奇点； 当奇点连续时就构成奇线。,有奇线的系统举例,对应奇点,奇点以外,(4) 相轨迹的运动方向,上半平面: 向右移动,下半平面: 向左移动,按顺时针运动

9、,(5) 相轨迹通过横轴的方向,相轨迹以 90穿越 x 轴,横轴上的普通点,(6) 相轨迹的对称性,1. 解析法,二、相轨迹的绘制,若该式可以分解为,两端积分,可解出 和 的关系式，（ ， ）为初始点。,1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法,例: 考虑二阶系统,(1) 导出相轨迹方程,(2) 两边积分得,（线性系统，极点为 ）,振幅不固定，不是自持振荡,对称性?,2. 等倾线法,先确定相轨迹的等倾线（等斜率线），进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场绘制相轨迹。,绘制步骤：,（1）导出等倾线方程,表示相平面上的一条曲线（等倾线），相轨迹经过该曲线上任一点时，

10、其切线的斜率都相等。,。,相轨迹的切线斜率,等倾线法,（2）取不同值时，画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示斜率为的小线段，构成相轨迹的切线方向场 （3）从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。,等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确，但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。,等倾线为直线的示意图,例：绘制下列二阶系统的相轨迹,奇点为（0，0）,解：等倾线方程为,（线性系统，极点为 ）,对称性?,可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，说明系统衰减振荡,所有的相轨迹都最终收敛到奇点，系统渐近稳定,解：,例：绘制下列二阶系统的相轨迹,（1）导出等倾线方程,

11、容易求出奇点为（0，0）。,（线性系统，极点为-1，-2）,对称性?,列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率的关系：,两条特殊的等倾线：,两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点， 其中一条是相轨迹的渐近线（说明见后）。,说明1：两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点,注：复数极点时不存在这样的等倾线（ 为实数）,说明2：一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线,思路：分析=1、2周围等倾线上相轨迹斜率的变化情况，见下页图。,特殊等倾线为相轨迹渐近线的示意图,斜率为-1的等倾线，其周围的相轨迹都趋向它，所以是渐进线；而斜率为-2的等倾线，其周围的相轨迹都离开它，所以不是渐进线。,所有的相轨迹都最终收敛到奇点,说明系

12、统渐近稳定；相轨迹都趋向于特殊的等倾线，说明系统响应为非振荡衰减形式。,因为 ，设点 的对应时间为 ，点 的对应时间为 ，则,将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得t 。,三、由相轨迹图求时间及时间响应,（1）积分法,连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。,特点：基于准确的时间算式，但难以精确计算面积。,相轨迹A-B段的平均速度：,相轨迹A-B段所用的时间：,（2） 增量法,连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。,特点：基于近似的时间算式，但计算容易。,近似式,例: 单位反馈系统,四、奇点与极限环的类型,1. 线性系统的奇点类型,奇点为（0, 0），根据特征根在S平

13、面上的分布，相轨迹有不同的形态。,极点分布与奇点的类型,极点分布,奇点,相轨迹图,中心点,稳定 焦点,稳定 节点,鞍点,不稳定 焦点,不稳定 节点,2. 非线性系统的奇点类型,分析思路与方法：将非线性系统在奇点处线性化，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。,非线性系统 在奇点 处的线性化：,（按泰勒级数展开）,例：已知非线性系统的微分方程为 试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。,则求得系统的两个奇点,解：系统相轨迹微分方程为,令,特征根为 ，故奇点(0, 0) 为稳定焦点。,在奇点（0，0）处,线性化方程为,在奇点（-2，0） 处,线性化方程为,故

14、奇点（-2，0）为鞍点。,非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。,特征根为,运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。,3. 极限环及其分类,非线性系统的运动除了发散和收敛外，还有一种运动模式自持振荡，自持振荡在相平面上表现为一个孤立的封闭轨迹线极限环。,以范德波尔（van der pol）方程为例，说明极限环的稳定性：,注：线性系统不会产生极限环，参见p30例。,极限环的3种类型,c)半稳定极限环 d)半稳定极限环,a) 稳定的极限环 b) 不稳定的极限环,五、非线性控制系统的相平面分析,具有饱和特性的非线性反馈系统 滞环继电型非线性反馈系统,步骤： 将典型非线性特性用分段的线性特性来表示。

15、在相平面上选择合适的坐标，常用误差及其导数。 根据分段的线性特性将相平面分成若干区域，在每个区域内都呈线性特性。 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,如何利用线性系统的相轨迹 绘制简单非线性系统的相轨迹？,1. 具有饱和特性的非线性系统,C,A(R,0),B,D,区,区,区,在区，奇点为原点，是稳定节点或焦点，相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点（见前面例）。,在、区，,都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。,相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。,注1,注2,注1：关于渐近线的说明,在区，,说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。区亦如此。,返回,注2：关于 (0)=0 的说明,初值不为零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2 时,返回,区奇点为稳定节点的相轨迹,A(R,0),渐近线,容易证明：设渐近线斜率为-a，则一定有 KM ab,Simulink仿真结构图,情况的相轨迹,R=1,R=2,R=5,情况的仿真结果,R=2时的u,R=1时的y,R=5时的y,R=1时的u,R=5时的u,