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1、考查角度4抛物线的标准方程与几何性质分类透析一抛物线的定义与应用例1 在平面直角坐标系xOy中,设点F12,0,直线l:x=-12,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl,则动点Q的轨迹方程为.解析 由题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP,RQ是线段FP的垂直平分线.|PQ|是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上,|PQ|=|QF|.结合抛物线的定义,可知动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x.答案y2=2x方法技巧 结合图形,借助垂直平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条
2、件的应用.分类透析二抛物线的标准方程例2 已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则抛物线的方程为().A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所以y1+y22=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,故选A.答案 A方法技巧 确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解.分类透
3、析三抛物线的几何性质与应用例3 如图,AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则1|FA|+1|FB|的值为().A.p2B.pC.2pD.2p解析 当直线AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,|FA|=|FB|=p,1|FA|+1|FB|=1p+1p=2p.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2,代入y2=2px中,得kx-kp22=2px,即k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB
4、=p(k2+2)k2,xAxB=p24.|FA|=xA+p2,|FB|=xB+p2,|FA|+|FB|=xA+xB+p,|FA|FB|=xA+p2xB+p2=xAxB+p2(xA+xB)+p24=p2(xA+xB+p).|FA|+|FB|=|FA|FB|2p,即1|FA|+1|FB|=2p,选C.答案 C方法技巧 该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视ABx轴的情况.例4 设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知,F(1,
5、0),p=2.因为FA+FB+FC=0,所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+32p=6.答案 6方法技巧 对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用.1.(2018年全国卷,理8改编)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为1的直线与C交于M,N两点,若FMFN=4,则p=.解析 由题意得直线的方程为y=x+2,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则联立方程组y=x+2,y2=2px,消去y并整理,得x2+(4-2
6、p)x+4=0,则x1x2=4,x1+x2=2p-4.因为FM=x1-p2,y1,FN=x2-p2,y2,所以FMFN=x1-p2,y1x2-p2,y2=x1-p2x2-p2+y1y2=2x1x2+2-p2(x1+x2)+p24+4=4,解得p=8(其中p=0舍去),故p的值为8.答案 82.(2017年全国卷,理10改编)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若1|AF|+1|BF|=1,则四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为().A.y=(x-1)B.y=x-1C.y=1-xD.y=2x-1解析 由抛
7、物线的性质可知1|AF|+1|BF|=2p,又1|AF|+1|BF|=1,p=2,即y2=4x.设直线AB的斜率为k(k0),则直线CD的斜率为-1k.直线AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.从而xA+xB=2+4k2,xAxB=1.由弦长公式得|AB|=4+4k2,以-1k换k得|CD|=4+4k2,故四边形ACBD的面积为12|AB|CD|=124+4k2(4+4k2)=82+k2+1k232(当k2=1时取等号),即面积的最小值为32,此时直线AB的方程为y=(x-1).答案 A3.(2018年全国卷,理16改编
8、)已知点M(0,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB=4,则k=.解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线斜率不存在时,易知A(1,2),B(1,-2),则MAMB=1,不合题意.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组y2=4x,y=k(x-1),整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,x1x2=1,y1+y2=k(x1+x2)-2k=4k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=-4.
9、又MAMB=4,MAMB=(x1,y1-2)(x2,y2-2)=4,解得k=-83.答案-831.(2018湖北黄冈中学月考试题)抛物线x2=4y的焦点坐标是().A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)解析x2=4y=2py,p=2,焦点坐标为0,p2,即为(0,1),故选B.答案 B2.(河北省衡水中学2018届高三数学三轮复习系列七)拋物线y=2x2的准线方程是().A.x=12B.x=-12C.y=18D.y=-18解析 抛物线y=2x2可化为x2=12y,焦点在y轴上,2p=12,p2=18,抛物线y=2x2的准线方程是y=-18,故选D.答案 D3.(辽宁省凌源市2
10、018届高三毕业班一模考试试题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(0,-3).若线段FA与抛物线C相交于点M,则|MF|=().A.43B.53C.23D.33解析 由题意得线段AF:y=3x-3(0x1).联立y=3x-3,y2=4x,解得M13,-233.又p2=1,所以|MF|=13+1=43,故选A.答案 A4.(东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=43,则弦AB的长为().A.163B.4C.103D.83解析 由抛物线的方程可得p=2.根据抛物线的焦点弦公式x1+
11、x2+p,得弦AB的长为43+2=103.故选C.答案 C5.(河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题)若过抛物线y=14x2焦点的直线与抛物线交于A,B两点(不重合),则OAOB(O为坐标原点)的值是().A.34B.-34C.3D.-3解析 由题意知抛物线的方程为x2=4y,焦点为F(0,1).设AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=116(x1x2)2=1,故OAOB=x1x2+y1y2=-3,选D.答案 D6.(湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试)已知点P(-1,4)
12、,过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为().A.x2=14yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=14y或y2=-16x解析 过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点,点P一定在抛物线C上,即两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线C的方程为y2=2px,则将点P(-1,4)代入方程可得2p=-16,抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线C的方程为x2=2py,则将点P(-1,4)代入方程可得2p=14,抛物线C的标准方程为x2=14y.综
13、上所述,选D.答案 D7.(山东省2018年普通高校招生(春季)考试)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是().A.2B.3C.4D.5解析 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,故|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,故选C.答案 C8.(山西省2018年高考考前适应性测试)已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB0,则实数a的取值范围是().A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.1解析 设A(x1,y1),
14、B(x2,y2),过点P的直线为x=my+a,联立y2=x,x=my+a,消去x得y2-my-a=0,y1+y2=m,y1y2=-a,x1+x2=m(y1+y2)+2a=m2+2a,x1x2=(my1+a)(my2+a)=a2.OAOB=x1x2+y1y2=a2-a0,0a0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|BF|=8,则p的值为().A.4B.12C.1D.2解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线y2=2px的焦点Fp2,0,准线方程为x=-p2,直线AB的方程为y=x-p2,代入y2=2px可得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p,x1x2=p24.又|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|AF|BF|=x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=p24+3p22+p24=2p2=8,解得p=2,故选D.答案 D10.(广西梧州市2018届高三3月适应性测试(二模)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点(0,3),与l交于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=().A.94B.254C.83D.163解析 由题意可得Mp6,233,2pp6=129
