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1、课堂达标(四十七) 最值、范围、证明问题A基础巩固练1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)在抛物线上，直线AB，CD均过点M(3,0)，且均不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.(1)求y1y2的值；(2)求证：|MP|MQ|.解(1)由题意得，则p1，抛物线的方程为y22x.设直线AB的方程为xmy3，将xmy3代入抛物线的方程得，y22my60，则由根与系数的关系得y1y26.(2)证明：由题意可知，直线AC的斜率为，直线AC的方程为y(xx1)y1，直线PQ过点M且垂直于x轴，点P
2、的纵坐标yP(3x1)y1.同理可得点Q的纵坐标yQ，yPyQ0，又PQx轴，|MP|MQ|.2(2018成都七中一诊)抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求的最小值解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直x1于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cos NPA.3已知双曲线C的两个焦点分别为F
3、1(2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|DG|的最小值解(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a1，半焦距c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x21.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2,1)为AB的中点，所以所以12(x1x2)2(y1
4、y2)0，即kAB6，故AB所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.(3)由已知，得|DF1|DF2|2，即|DF1|DF2|2，所以|DF1|DG|DF2|DG|2|GF2|2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，因为|GF2|，所以|DF2|DG|2|GF2|22，故|DF1|DG|的最小值为2.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，又a2b2c
5、2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(4，)B能力提升练1(2018威海模拟)已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3
6、)求OAB的面积S的取值范围解(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S.即OAB的面积S的最值
7、范围是.2已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAO
8、B2|OF|y1y2|4 ，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.C尖子生专练已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，Q为抛物线y212x的焦点，且0,2 0.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点P(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间)，设直线l的斜率为k(k0)，在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由已知Q(3,0)，F1BQB，|QF1|4c3c，所以c1.在RtF1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|2c2，所以a2.于是椭圆C的标准方程为1.(2)设l：ykx2(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的中点为E(x0，y0)假设存在点A(m,0)使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AEMN.(4k23)x216kx40，0k2，又k0，所以k.因为x1x2，所以x0，y0kx02.因为AEMN，所以kAE，即，整理得m.因为k时，4k4，所以m.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。5
