《2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（普通高中）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（普通高中）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时跟踪检测（四十五） 立体几何中的向量方法(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于()A.B.C. D.解析：选D建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.故cos，.2直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0
2、,2)，所以(1，1,2)，(1，0,2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A. B.C. D2解析：选A由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2，ABC90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.4.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PABC2，AB4，CBAB，则异面直
3、线PC，AD所成角的余弦值为()A BC. D.解析：选D因为PA平面ABC，所以PAAB，PABC.过点A作AECB，又CBAB，则AP，AB，AE两两垂直如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(4,0,0)，C(4，2,0)因为D为PB的中点，所以D(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线PC，AD所成的角为，则cos |cos，|.5.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正
4、弦值为()A. B.C. D.解析：选A设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，(1,0，1)设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面GEF的一个法向量，所以cosn，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.故选A.6在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A
5、1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.7.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是_解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0，0)，C(0，1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135，异面直
6、线EF和CD所成的角的大小是45.答案：458.如图，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ADABAA12BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为_解析：因为AB，AD，AA1两两垂直，故以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设BC1，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0，2,0)，E(0，2,1)，F(0,1,1)，(0,1,0)，(0,2，2)，(2,1,0)设平面A1CD的一个法向量为n
7、(1，y，z)，则故n(1,2,2)，则sin |cosn，|，故直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为.答案：9.如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线FO与平面BED所成的角为45，则AE_.解析：如图，以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系设AEa，则B(0，0)，D(0，0)，F(1,0,3)，E(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)，(1，a)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线FO
8、与平面BED所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，AE2.答案：210.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点则二面角F OE A的余弦值为_解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OAOB2，则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)，F(0，1,1)，则(1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面OA
9、E的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：B级中档题目练通抓牢1(2017江苏高考)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：(1)在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.故以AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(
10、，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.2(2017北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，
11、PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解：(1)证明：设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为底面ABCD是正方形，所以OEAD.以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O
12、xyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z.于是n(1,1，)又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA的大小为60.(3)由题意知M，C(2,4,0)，则.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.3(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面P
13、AB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角M
