《2019届高考数学一轮复习第八篇 平面解析几何 第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练 理 新人教版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019届高考数学一轮复习第八篇 平面解析几何 第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练 理 新人教版(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3,4,5,6,9最值、定值问题11,15弦长问题与中点弦问题2,7,8,14直线与圆锥曲线的综合问题10,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知抛物线y2=2x,过点(-1,2)作直线l,使l与抛物线有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有(D)(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条解析:因为点(-1,2)在抛物线y2=2x的左侧,所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线,过点(-1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点,所以过点(-1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点.故
2、选D.2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)(B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k=-.故选B.3.过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线(D)(A)存在一条,且方程为2x-y-1=0(B)存在无数条(C)存在两条,方程为2x(y+1)=0(D)不存在解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2,- =1,- =1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)-
3、(y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即kAB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立可得2x2-4x+3=0,但=(-4)2-4230,b0)的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是(D)(A)(1,) (B)(,+)(C)(,)(D)(1,)(,+)解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交,得最短弦为2a;如果与双曲线的一支相交得最短弦长为,此时弦垂直于x轴,因为满足|AB|=4b的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况.或 或 由得所以所以解得结合e1得,1e,综
4、合可得,有2条直线符合条件时,e或1eb0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为.解析:把x=c代入椭圆方程解得y=,所以弦长=2,则解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=17.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.解析:抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y=,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=2-,即-4x1-4p2=0;同理有
5、-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即=12,=12,解得p=1或p=2.答案:1或28.(2017邯郸市二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2)(x0)为圆心的圆与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|,若=2,则|=.解析:由题意,|MF|=x0+.因为圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|,所以|MA|=2(x0-).因为=2,所以|MF|=|MA|,所以x0=p,所以2p2=8,所以p=2,所以|=1
6、.答案:1能力提升(时间:15分钟)9. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MFx轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为MFx轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到lMN的距离d=1,解得k=(负值舍去).又因为即N(,-),所以|NF|=.故选A.10.(2017泉州市模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则F1PQ内切圆面积的最大值是.解析:因为三角形内切圆的半径与三角
7、形周长的乘积是面积的2倍,且F1PQ的周长是定值8,所以只需求出F1PQ面积的最大值.设直线l方程为x=my+1,与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my-9=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|y1-y2|=12.设m2+1=t1,+),则=,在t1,+)内,9t+是单调递增的,所以t=1取得最大的=12=3.所以内切圆半径r=,因此其面积最大值是.答案:11.(2017武汉市模拟)已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则=.解析:不妨取直线MNx轴,椭圆
8、+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=,所以y=,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2,则=2.答案:212.(2017鞍山市一模)设A,B分别为椭圆+=1(ab0)和双曲线-=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=(+),其中R,|1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4=.解析:如图所示,因为满足+=(+),其中R,|1,所以-2=(-2),所以O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),=k0.则-=1,+=1,所以=,=-,因为k1+k2=5,所以5=+=.所以k3+
9、k4=+=-=-5.答案:-513.(2017张家口市模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F和椭圆E:+=1的右焦点重合,直线l过点F交抛物线于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为135,求|AB|的长;(2)若直线l交y轴于点M,且=m,=n,试求m+n的值.解:(1)据已知得椭圆E的右焦点为F(1,0),所以=1,故抛物线C的方程为y2=4x.因为直线l的倾斜角为135,所以y=-x+1,由得到(-x+1)2=4x,即x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,所以|AB|=p+x1+x2=8.(2)根据题意知斜率必存在,于是设方程为y=k(x-
10、1),点M坐标为M(0,-k),因为A(x1,y1),B(x2,y2)为l与抛物线C的交点,得到k2x2-2(k2+2)x+k2=0,因为=16(k2+1)0,所以x1+x2=2+,x1x2=1.因为=m, =n,所以(x1,y1+k)=m(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以m=,n=,所以m+n=+=-1.14.(2017贵阳市二模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线AB:y=kx+m(k0)与椭圆C交于不同的A,B两点,以线段AB为直
11、径的圆经过点F2,且原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程.解:(1)因为双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,椭圆C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.所以d=得c=1,又离心率e=,则a=,b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由原点O到直线AB的距离为,得=,即m2= (1+k2), 将y=kx+m(k0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段AB为直径的圆经过点F2,所以=0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2
12、+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,所以(1+k2) +(km-1)(-)+m2+1=0,化简得3m2+4km-1=0, 由得11m4-10m2-1=0,得m2=1,因为kb0)经过点(,),且其左焦点坐标为(-1,0).(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m,其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(1)因为2a=+=4,又c=1,所以b=,所以椭圆的方程为+=1.(2)当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|MN|+|PQ|=+2a=3+4=7,当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,|MN|=,直线l2的方程为y=- (x-1),同理(只是把k代换成-)得|PQ|=,所以|MN|+|PQ|=,设t=k2+1,则t1,所以|MN|+|PQ|=,因为t1,所以=时,|MN|+|PQ|有最小值=7.综上,|MN|+|PQ|的最小值是.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离,经济距离越长,旅游者对旅游目的地的需求越低;靠近发达地区的旅游资源,其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。11