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1、选修系列 14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 理1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|
2、，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立1(2015山东改编)解不等式|x1|x5|2的解集解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)2若存在实数x使|xa|x1|3成立，求实数a的取值范围解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.3若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a
3、的取值范围解设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，.题型一绝对值不等式的解法例1(2015课标全国)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴
4、围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)思维升华解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解(1)解不等式|x1|x2|5的解集(2)若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，求a的值解(1)当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x
5、1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2(2)|ax2|3，1ax0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为x|x，故a3.题型二利用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y
6、1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法(1)(2016深圳模拟)若关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解，求d的取值范围(2)不等式|x|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围解(1)|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1，关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d1.(2)x(，22，)，|x|2，)，其最小值为2.又sin y的最大值为1，故不等式|x|a2|sin y恒成立时，有|a2
7、|1，解得a1,3题型三绝对值不等式的综合应用例3(2017石家庄调研)设函数f(x)|x3|x1|，xR.(1)解不等式f(x)1；(2)设函数g(x)|xa|4，且g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)|x3|x1|故由不等式f(x)3或解得x.(2)函数g(x)f(x)在x2,2上恒成立，即|xa|4|x3|x1|在x2,2上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示故当x2,2时，若0a4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求得4a0，故所求的实数a的取值范围为4,0思维升华(1)
8、解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xa对于一切xR恒成立，求实数a的取值范围解由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a0恒成立，即(|x3|x7|)minm，由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最
9、小值为4，所以要使不等式恒成立，则m4.5(2016江苏)设a0，|y2|，求证：|2xy4|a.证明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.6已知关于x的不等式|2xm|1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x1|x3|m的解集解由不等式|2xm|1，可得x，不等式的整数解为2，2，解得3m5.再由不等式仅有一个整数解2，m4.本题即解不等式|x1|x3|4，当x3时，不等式等价于x1x34，解得x4，不等式解集为x|x4综上，原不等式解集为(，04，)7已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(
10、x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.8已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范围解(1)f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3x2时，有2x13，解得1x2.综上，f(x)3的解集为x|x1(2)由绝对值不等式的性质可得，|x3|x2|(x3)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以a的取值范围是1,99(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集
