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1、 EOF/PCA诊断气象变量场问题的新探讨* 丁 裕 国1) 梁 建 茵1) 刘 吉 峰2) 1) 广州热带海洋气象研究所 2）南京气象学院 摘要：本文进一步论证了EOF/PCA在气象变量场诊断中的物理内涵，证明基于EOF/PCA的R型和Q型展开，可描述为气象变量场主要振荡型分解和主要空间分布型分解两种方案。前者表明,气象变量场的准周期振荡可分解为各主分量的周期振荡，它们各自等价于不同网格点（或站点）以其载荷为权重的迭加周期振荡，因此，气象变量场准周期振荡可视为来自不同周期源（网格点或站点）的准周期振荡逐层迭加的结果；后者表明，气象变量场的水平空间分布可视为各种主要空间分布型的迭加，而Q型展开
2、才是对各种主要空间分布型的正交分解。由此深化了EOF/PCA气象变量场诊断的物理内涵。 关键词：经验正交函数；主分量分析；主要振荡型分解；水平空间分布型分解1. 引言 经验正交函数（EOF）或主分量分析（PCA）及其推广形式如因子分析、典型相关分析或奇异值分解、奇异谱分析、奇异交叉谱分析，等等，一般都可归结为时空场降维技术方法。多年来这类方法一直十分活跃于大气科学及地球科学各领域，成为各学科不可缺少的重要数值分析工具。笔者曾对EOF/PCA及其研究成果加以综述指出，这类方法之所以能广泛应用，其本质的原因是，它们具有适应各种学科领域的普适性。在数学上，它们具有一定的较为完整的理论框架；在物理上，
3、它能简洁而巧妙地揭示出不同学科领域内各自的物理内涵；在计算方法和描述方式上 ，它又能适应于其它数学的、动力的、统计学的技巧1-2。然而，以往EOF/PCA用于气象变量场序列的诊断分析，主要是从具有时间和空间分量的时空场如何降维的观点出发加以理解应用。例如，Lorenz (1956) 最早将PCA用于气象要素场时,仅从降低场变量的维数的观点表明用前8个分量已描述了原场总方差的91%,从而说明用前8个分量即可代替原场64个变量,3；又如Trenberth (1981) 对全球和半球气压场的分析；Wallace等(1981)对大气环流场遥相关的研究，等等4-7，以及国内学者的研究工作，几乎都强调了降
4、低场变量维数的观点8-10。近年来,年逾90高龄的我国老一辈气候学家么枕生教授对EOF理论和应用有所发展,提出了“载荷相关模式”并将其应用于气候分类区划,更加客观地解释了EOF/PCA在气象要素场分析中的作用11。 笔者认为，EOF/PCA用于气象场分析的物理内涵, 可从两方面加以论证，对于时间域而言，它是提取气象变量场随着时间变化的各种主要振荡信号型。对于空间域而言，它又可描述为主要空间分布型分解。而这两者又可相互转化、相互依存。因此，本文提出基于R型和Q型EOF/PCA展开的两种方案，进一步论证其在气象变量场诊断中的物理内涵，以便更加准确地解释它的诊断意义和作用。2EOF/PCA气象变量场
5、诊断新解2.1 气象变量场主要振荡型分解,假定有气象变量场序列,对其作展开，写成矩阵式，即有 (1)-l 本文受中国气象局“南海季风及其与太平洋海温相互关系的研究”项目和九五攻关（96-908-04-02）课题共同资助。l 第一作者, 男，1941年出生，南京大学本科（五年制）毕业，南京气象学院教授，广州热带海洋气象研究所客座研究员。长期从事气候变化、气候诊断与预测及统计气候学研究，已发表学术论文百余篇。按惯例,对（1）式的解释是: 为其典型场(即特征向量,代表各个空间分布型),它们仅为空间坐标的函数；而为其相应的时间权重系数（即主分量,代表各典型场随时间变化分量），它们仅为时间坐标的函数。因
6、此，一般认为EOF就是将气象场分解为仅与时间及空间有关的两部分的一种数据处理方法。换言之，气象变量场序列可经EOF展开而表示成各按一定(时间)权重加权的不同典型场之线性组合。从理论上说，EOF本身就是多元统计分析中的主分量分析（PCA）在气象场序列中的应用，其数学模型可表述如下： 设有多元正态变量，它可理解为网格点(或站点)资料序列，也可理解为任何一组具有各种学科意义的多元正态变量。本文特指气象变量场(网格点或站点)序列。以下为叙述方便，仍称为变量。假定已对其作了中心化预处理, 它们等价于具有的中心化多元正态变量，简记为。显然，对而言，其各变量的协方差，可写为矩阵 （2）上式中，矩阵元素表示第
7、 变量与第 变量的（总体）协方差；如果存在某种线性组合 （3）并使其具有极大化方差，则我们总可以寻求这样一组系数向量，在满足条件 时，就有 的极大方差 （4）事实上，要找到这一线性组合，等价于求解矩阵方程 （5）的特征值和特征向量。由此就可求得原变量的新组合变量，其各分量称为原变量的主分量（如（3）式）。不难证明，方程（5）的相应特征值 就是主分量方差，即 (6) 根据矩阵正交变换理论9-11，上述各主分量为统计上互不相关的分量，而相应的系数向量(即特征向量) 则为解析正交向量。故可将其称为主分量正交变换。由此可见，以（1）式为代表的经验正交函数（EOF）展开，只不过是主分量正交变换的逆形式，
8、两者并无本质区别。事实上，EOF/PCA分析气象变量场序列时,对任一主分量而言，我们有 （ ） (7) 而对各网格点（站点）原序列,则有 ( ) (8)为了进一步论证其在气象变量场诊断中的物理内涵，假定各原序列为具有某些谐振分量的正态序列，并从最简情形出发, 考虑主分量的正交性, 首先设各个主分量仅为某一中心频率的振荡分量10, 则可有简谐振荡序列 ， （9） ， (10)上式中,为服从的正态标准化白噪声序列,若将（9）,(10)式代入(8)式,就有下列表达式 (11) 为了推导方便，假定各站谐波分量的差异仅在于振幅的不同，由于主分量的统计正交性,上式应为关于简谐波的恒等多项式。据恒等多项式原
9、理，必可有若干个， （12）为小于的任意正整数。使得(11)式化为 （13）于是,分别又有表达式 （14）和 （15）（8）（15）式表明，各网格点（站点）原序列如果隐含若干个谐振分量,则其主分量必然为具有某一中心频率的振荡分量,而这一中心频率正是从各原变量序列中提取的频率信号，其振幅是以其主分量荷载 为权重的各原变量序列同一频率谐振振幅的加权平均振幅。 若对（13）式两边同乘,并取期望运算,就有 （16）(16) 式本质上代表了气象场变量中某一区域原变量序列谐振分量的平均情况。根据文献11, 在标准化变量条件下, 荷载值代表了主分量振型与原序列振型的相似程度（以相关系数为度量）。换言之，EO
10、F/PCA实际上是从原变量场序列中逐一提取代表原变量场的各主要振荡信号型。即主分量可以解释为气象场序列振荡型的一种分解,不同的分量序列对应着时间域上不同的振荡型，而其空间函数数值大小则代表了相应振荡分量与哪些地理区域相关密切，表明这种振荡型主要来源于哪些区域(格点或站点),或各站点原序列对该振荡型(主分量)的贡献。在此基础上的分型区划实际代表了气象变量场序列的各种振荡源的空间分布区域，而不是对气象要素场数值在水平地理空间上分布的分型区划（后文专门对此作出定义）。有鉴于此，以往一般认为EOF是“将气象场分解为仅与时间及空间有关的两部分”或认为气象变量场序列经EOF展开后表示成“各按一定(时间)权
11、重加权的不同典型场(即特征向量)之线性组合” 等等提法，仅仅是从时空场降维意义上来解释EOF。而并未从气象变量场在时频域上振荡的物理本质来理解，从这个意义上说，以往的提法并不全面。将（8）（16）式推广为一般情况, 假定各网格点（站点）原序列为隐含谐振分量的正态序列,而其主分量亦为具有某种谐振分量的正态序列, 则其相应频率的幅谱可表示为 （17） （18）代入(7)式,即得 （19）根据功率谱分析理论12，各主分量方差可表示为相应的谱展式 （20） ； 因此，对照（7）式和(16)式, 各主分量还可写成相应的功率谱分解式 （21） 或有 （22）由此可见, 主分量功率谱就是各原变量功率谱的加权
12、线性和，即原变量分解的线性组合谱,其权重为各变量的载荷平方值。从原变量功率谱及其权重配置的结构中不难估计出控制某气象变量场的主要振荡周期信号。换言之，从频率域来看，EOF/PCA实质是对场的主要振荡型作正交分解，从而将一个具有复杂振荡系统的场序列分解成若干个较为单一的振荡分量系统。另一方面，从线性定常随机系统的观点来考察EOF/PCA, 同样可以证明, 它们只不过是线性定常随机系统的一种特例。根据系统在时域上的输入输出关系13，一般地有 （23） ， ，式中， 为具有时间后延的输入变量序列， 为输出变量序列，而 则为对应于输入（输出）的频率响应函数。对照（7）式，不难看出，当时，即输入变量序列对于输出变量序列在没有时间后延的条件下，频率响应函数仅为常向量，则（23）式退化为（7）式，而相应的频率响应函数就是其荷载向量（即特征向量）。 值得一提的是，这里所谓主要振荡型正交分解与由Hasselmann等90年代提出的主振荡模态 (POP)方法是不完全相同的两种概念13。因为这里未加进原变量的时滞相关过程，但至少有一点是共同的，即都是对场的振荡型态作分解。由此从这个意义上也佐证了上述观点的正确性。2.2 气象变量场主要空间分布型的分解, 如上所述的EOF/PCA展开，主分量可解释为气象场序列的振荡型分解,不同的分
