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1、第二章 向量与矩阵的范数 定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为 ，并且要求范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有 例： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明： 都是 上的范数，并且还有,引理 设 均为非负实数，则总有,Holder不等式：设,证：令 ， ，其中,代入上述不等式，则有,Minkowski不等式：设 则对任何 都有,证明 以 代入下式 则,对上式由Holder不等式可得,此不等式
2、两端同除以 ，根据 可得,几种常用的范数 定义：设向量 ，对任意的数 ，称 为向量 的 范数。,（1）1范数 （2）2范数 也称为欧氏范数。 （3） 范数,定义 设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得 则称向量范数 等价。,定理 有限维线性空间 上的任意两个 向量范数都是等价的。,利用向量范数可以去构造新的范数。 例1 设 是 上的向量范数，且 ，则由 所定义的 是 上的向量范数。,定义 对于任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足,（1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两
3、个同种形状矩阵 都有,2. 矩阵范数,（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵 ，都有 那么我们称 是矩阵 的范数。 例1 对于任意 ，定义 可以证明如此定义的 为矩阵 的 范数。,证明 只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则,例2 设矩阵 ，证明： 是矩阵的 范数。 证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么,因此 为矩阵 的范数。,例3 对于任意 ，定义 可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。 证明 此定义的非负性，齐次性是显然的。
4、利用Holder不等式和Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 ，则,于是有,Frobenious范数的性质： （1）如果 ，那么 （2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵,都有等式 关于矩阵范数的等价性定理。 定理 设 是矩阵 的任意两 种范数，则总存在正数 使得,3. 算子范数 定义 设 是向量范数， 是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。 例1 矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的. 证明 因为,根据Holder不等式可以得到,于是有 例2 设 是向量的范数，则 满足矩阵范数的定义，且 是
5、与向量范 相容的矩阵范数。 证明 首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,因此 的确满足矩阵范数的定义。,定义 上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。,由向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即 常用的矩阵P-范数为 ， 和 。,定理 设 ，则 （1） 我们称此范数为矩阵 的列和范数。,（2） 表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。 （3） 我们称此范数为矩阵 的行和范数。,计算 ， ， 和 。 解,例 1 设,因为 所以,练习 设,和,分别计算这两个矩阵的 ， ， 和 。,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？ 定理2 设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得 证明 对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且,矩阵的谱半径及其性质 定义 设 ， 的 个特征值为 ，我们称 为矩阵 的谱半径。 例1 设 ，那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。 例2 设 是一个正规矩阵，则,例3 设 是 上的相容矩阵范数。证明： （1） （2） 为可逆矩阵， 为 的特征值 则有,例5 如果 ，则 均为可逆矩阵，且 这里 是矩阵 的算子范数。,例4 证明,
