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1、第二章 函数、导数及其应用,2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 函数的图象 2.5 二次函数与幂函数 2.6 指数函数 2.7 对数函数 2.8 函数与方程 2.9 函数模型及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算 2.11 导数的应用（一） 2.12 导数的应用（二）,知识点,考纲下载,函数及其表示,1.了解构成函数的要素;了解映射的概念. 2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法） 表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单的应用.,函数的定义域与值域,1.会求一些简单的函数的定义域与值域. 2.理
2、解函数最大值、最小值及其几何意义.,单调性,理解函数的单调性及其几何意义.,奇偶性,结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.,指数与指数函数,1. 了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.,对数与对数函数,1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;了解对数在简化运算中的运用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型
3、. 4.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1).,幂函数、函数与方程,1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x，y=x2,y=x3,y= ,y=x 的图象,了解它们的变化情况. 3.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的 零点与方程根的关系. 4.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.,函数的图象,会运用函数图象理解和研究函数的性质.,函数的应用,1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会
4、生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.,导数及导数的运算,1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.,导数的应用,1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.,2.1函数及其表示,数集,集合,任意,数x,都有唯一确定,数f（x）,任意,元素x,都
5、有唯一确定,元素y,f:AB,f：AB,【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.,2.函数的定义域、值域 在函数y=f（x），xA中,x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域. 3.函数的构成要素为: 、 和 由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 相同,并且 .完全一致,我们就称这两个函数 .,x的取值范围A,函数值的集合f（x）|xA,定义域,对应关系,值域.,定义域,对应关系,相等,【思考探究】 2.若两个函数
6、的定义域与值域相同，是否为相等函数？ 提示： 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为 -1,1,显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系. 4.函数的表示法: 、 、 . 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是 函数.,解析法,图象法,列表法,对应关系,一个,3.有以下判断： （1)f（x) 与g（x)1， x0， -1，x0表示同一函数； （2)函数yf（x)的图象与
7、直线x1的交点最多有1个； （3)f（x)x22x1与g（t) t22t1是同一函数； （4)若f（x)|x1|x|，则f（ f（ )0. 其中正确判断的序号是.,【解析】对于（1)，由于函数f（x)|x|x的定义域为x|xR，且x0， 而函数g（x)1， x0， -1，x0的定义域是R，所以二者不是同一函数； 对于（2)，若x1不是yf（x)定义域的值，则直线x1与yf（x)的图象没有交点， 如果x1是yf（x)定义域内的值， 由函数定义可知，直线x1与yf（x)的图象只有一个交点， 即yf（x)的图象与直线x1最多有一个交点； 对于（3)，f（x)与g（t)的定义域、值域和对应关系均相同，
8、 所以f（x)和g（t)表示同一函数； 对于（4)，由于f 0， 所以f（ f（ )f（0)1. 综上可知，正确的判断是（2)（3). 【答案】（2)（3),4.（2014连云港期末)已知函数f（x) 2，x 0，1 x，x 0，1 则使f（f（x)2成立的实数x的集合为.,【解析】当x0，1时，f（f（x)f（2)2成立； 当x 0，1时，f（f（x)f（x)x，要使f（f（x)2成立， 只需x2.综上，实数x的集合为x|0x1或x2. 【答案】x|0x1或x2,求函数的定义域,1.求函数定义域的步骤 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，求解
9、时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y=f（x）由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义. 2.求抽象函数的定义域时 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.,【变式训练】,1.（1)求函数y= +lg cos x的定义域： （2)已知f（x）的定义域是-2，4， 求f（x2-3x）的定义域.,求函数的解析式,函数解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x
10、)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程思想：已知关于f(x)与f( _)或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).,【变式训练】2.,（1)若f（x1)2x21，求f（x)的表达式； （2)若2f（x)f（x)x1，求f（x)的表达式； （3)若函数f（x) ，f（2)1，又方程f（x)x有唯一解 求f（x)的表达式,分段函数,对于分段函数给定自变量求
11、函数值时,应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内.,【解析】（1)依题意，30， 得f（3)f（31)f（32)f（2)f（1)， 又20，所以f（2)f（21)f（22)f（1)f（0). 所以f（3)f（1)f（0)f（1)f（0)， 又f（0)log2（40)2，所以f（3)f（0)2. （2)当a0时，1a1,1a1. 此时f（1a)2（1a)a2a， f（1a)（1a)2a13a. 由f（1a)f（1a)，得2a13a，解得a . 不合题意，舍去.当a0时，1a1,1a1，
12、此时f（1a)（1a)2a1a， f（1a)2（1a)a23a. 由f（1a)f（1a)，得1a23a，解得a . 【答案】（1)B（2),【变式训练】,1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数. 2.函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视. 3.映射不一定是函数,而函数是特殊的映射.求映射作用下的象就是代
13、换(代入法),而求映射作用下的原象就是解方程或解方程组.,4.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: （1）若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R; （2）若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; （3）若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; （4）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; （5）若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 5.求实际问题的函数定义域时,除了使解析式有意义,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.,从近几年的高
14、考试题看，本知识内容在高考中始终占有一席之地.命题形式也呈多样性，通常会有一大一小题与之相关.或是利用选择题或填空题来考查函数的基础知识，如定义域、值域的求法,函数解析式的确定和函数图象的运用等；或是利用解答题在函数的载体之下考查函数方程、分类讨论、数形结合等知识与方法的综合运用能力.分段函数在考查中常被用到.,（2013全国新课标卷)已知函数f（x) -x2+2x,x0, l n（x+1),x0. 若|f（x)|ax，则a的取值范围是（ ) A.（，0B.（，1C.2,1D.2,0,【规范解答】分析条件一：f（x) -x2+2x,x0, ln（x+1),x0,转化为二次函数与对数函数的图象问
15、题，如图（1). 分析条件二：|f（x)|ax，由f（x)的图象得到|f（x)|的图象如图（2).,分析图形：观察知要使yax的图象总在y|f（x)|的下方， 则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时， 若x0，f（x)x22x0，所以|f（x)|ax 化简为x22xax， 即x2（a2)x，所以a2x恒成立，所以a2. 综上2a0. 【答案】D 【阅后报告】 （1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨 论分类需有明确的标准、全面的考虑,2.（2013全国大纲卷）已知函数f（x)的定义域为（1，0)， 则函数f（2x1)的定义域为（ ) A.（1，1) B.1，12 C.（1，0) D.12，1,【解析】 对于f(2x1)，12x10， 解得1x12， 即函数f(2x1)的定义域为1，12. 【答案】B,3.（2014江西卷） 将连续正整数1，2，n（nN*) 从小到大排列构成一个数123n，F（n
