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1、第二章 控制系统的数学模型,2.1 线性微分方程的建立及求解 2.2 传递函数 定义、性质、典型元件及典型环节传函 2.3 控制系统的结构图及信号流图 组成、绘制、梅逊公式 2.4 控制系统的传递函数 开环、闭环传函,2.1.1 建模方法 ：分析法、实验法,2.1 控制系统的微分方程,分析法根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。 建模（微分方程）步骤：,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。 第三步：标准化。 左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19公式（2-8）所示。,【例2.2】如图2.2所示
2、，写出RLC振荡器电路的微分方程。 解：,解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：,该电路为二阶系统,2.1.1 线性定常微分方程的求解,一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。,数学工具拉普拉斯变换与反变换, 定义 初始条件为零时，连续函数f(t)的拉氏变换F(s)为：,拉氏变换函数（象函数）,原函数,衰减因子，其中： -时间常数 s = -+j为拉氏变换算子，其中：-衰减系数 -振荡频率（rad/s）,F(s)的原函数，即拉氏反变换为：,（2） 方法 初始条件为零时，可令连续函数中：,变量字母：小写大写 自变量：ts 遵循线性定理：加、减符号，系数不变。,位移定理,延迟
3、定理,终值定理,将F(s)化成下列因式分解形式：, 拉氏反变换,定义表达式：f（t）=L-1 F(s),方法：简单函数-直接查表； 复杂函数-部分分式展开，再查表（P284）。,待定系数,工程上常用的典型函数及其拉氏变换,原函数：f(t) 脉冲 （t） 单位阶跃 1（t） 速度 加速度 指数 正（余）弦,象函数F（s） 1,2.2 非线性数学模型的线性化 微小偏差法（略）,2.3.1 传递函数的定义和主要性质,定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：,2.3 传递函数,式中：c(t)是系统输出量，r(t)是
4、系统输入量； 各系数均是常数。,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：,基本性质： 性质1 传递函数的概念只适于线性定常系统。 性质2 传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映系统内部的任何信息 。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。 传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。 传递函数是复变量的有理真分式，即n m，具有
5、复变函数的所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。,性质8 传递函数G(s)的零点zi 和极点pl,为传递函数的零、极点（根轨迹）表达式,K *-零、极点增益（根轨迹增益）,2.2.2 典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节则是由各种不同的元件组成。 常用的电路元件如下：,于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是该电路网络的复阻抗。,由复阻抗可直接写出：,由复阻抗可直接写出：,如例2.2：RLC振荡器电路，由微分方程求得传函为：,由常用的六种典型环节组成的系统传表达式函如下：,积分
6、环节（个）,惯性环节（q个）,振荡环节 （n-v-q）个,实例,2. PI调节器电路,2.3 控制系统结构图及系统传函,2.3.1 控制系统结构图的组成,（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“ ” 两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。,（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间 的函数关系。,注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。,2.3.2 控制系统的传递函数,(1) 前向通道传函-假设D(s)=0 前向通道：E(s) C(s),（3）开环传函- 假设D(s)=0 开环通道：E(s) B(s) 传函：反馈信号与误差信号之比。 即：,（4）闭环传函 两种输入信号对输出响应的传函,其中： G(s)=G1(s)G2(s),系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s),2.3.3 控制系统结构图的绘制,一般步骤,方程中的“加、减”运算对应“比较环节”；乘法运算对应传函方框,例1 绘制双RC滤波器电路的结构图。,解：网络复阻抗方程如下：,据此绘制双RC滤波器电路的结构图如下：,本节结束！,作业：P35习题2-3,
