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1、数学模型实验报告二机器人避障问题姓名 专业及班级 2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我
2、们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由
3、全国组委会评阅前进行编号）：【摘要】本文采用线圆结构求解所建立的数学模型，之所以如此是因为，无论问题多么复杂，机器人所经过的路径都可以转换成一段一段的线圆组合，为了证明线圆组合所满足的最短路径问题，我们分析了简单结构的模型问题，即一个区域中存在的四个障碍物的简单模型，并采用数学中平面解析几何的性质证明了线圆结构的最短路线问题。问题一，我们采用线圆结构法分析路径的选择问题，把可能的路径一一列举有出来，最后我们求得：R A 最短路径为：70.5076R B 最短路径为：107.9587R C 最短路径为：102.0514问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果：第一种方案最短路径为：156.471
4、第二种方案最短路径为：157.752【关键词】 最优化模型 最短路径 机器人蔽障 平面解析几何一 【问题重述】下图是一个10080的平面场景图，在R（0，0）点处有一个机器人，机器人只能在该10080的范围内活动，图中四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述分别为B1（20，40；5，10）、B2（30，30；10，15）、B3（70，50；15，5）、B4（85，15；5，10），其中B1（20，40；5，10）表示一个矩形障碍物，其中心坐标为（20，40），5表示从中心沿横轴方向左右各5个单位，即矩形沿横轴方向长52=10个单位，10表示从中心沿纵轴方向上下各10个单
5、位，即矩形沿纵轴方向长102=20个单位，所以，障碍物B1的中心在（20，40），大小为1020个单位的矩形，其它三个障碍物的描述完全类似。在平面场景中、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过1个单位），为此，须要确定机器人的最优行走路线由直线段和圆弧线段组成的光滑曲线，其中圆弧线段是机器人转弯路线，机器人不能折线转弯，转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段，也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成，但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径，假设为1个单位。另外，为了不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为1个单位，越远越安全，否则将发生碰
6、撞，若碰撞发生，则机器人无法到达目标点，行走失败。请回答如下问题：1. 场景图中有三个目标点A（50，40）、B（75，60）、C（95，20），请用数学建模的方法给出机器人从R（0，0）出发安全到达每个目标点的最短路线。2. 求机器人从R（0，0）出发，依次安全通过A、B到达C的最短路线。二【问题分析】1、问题一中要求求定点（0, 0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短路径，我们先可以包络线画出机器人行走的危险区域，这样的话，拐角处就是一个半径为的圆弧，那么然后采用拉绳子的方法寻找可能的最短路径（比如求R和A之间的最短路径，我们就可以连接R和A之间的一段绳子，以拐角处的圆弧为支撑拉
7、紧，那么这段绳子的长度便是R到A的一条可能的最短路径），然后采用穷举法列出R到每个目标点的可能路径的最短路径，然后比较其大小便可得出R到目标点的最短路径。2、问题二中要求求定点R（0， 0）经过中间的若干点按照一定的规则绕过障碍物到达目标点，这使我们考虑就不仅仅是经过障碍物拐点的问题，也应该考虑经过路径中的目标点处转弯的问题，这时简单的线圆结构就不能解决这种问题，我们在拐点及途中目标点处都采用最小转弯半径的形式，也可以适当的变换拐点处的拐弯半径，使机器人能够沿直线通过途中的目标点，然后建立优化模型对这两种方案分别进行优化，最终求得最短路径。三【模型假设】1、假设障碍物全是矩形。2、假设机器人能
8、够抽象成点来处理。四【符号说明】符号符号说明L路径的总长度第段切线的长度第段圆弧的长度转弯半径障碍物上的任意点与行走路径之间的最短距离五【模型的建立】5.1 为了证明我们所选区域路径的优化处理方法符合最优路径问题，我们需要采用几何方法证明线圆结构路径的最短问题：猜想一：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。（即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况）证明：假设在平面中有A（a，0）和B（-a，0）两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最路径为AB。 平面上连接两点最短的路径是通过这两
9、点的直线段，但是连接两点的线段于障碍物相交，所以设法尝试折线路径。在y轴上取一点C（0，y），若y适当大，则折线ACB与障碍物不相交，折线ACB的长度为： 显然随着y的减小而减小，减小得，即,使得与与障碍物相切，切点分别为E和F,显然是这种折线路径中最短的。由于满足0的角满足,所以易知弧度EF小于的长， 即E,从而+FB|AP|,又由AEEO,所以|AP|AE,从而AE,同理可得BF。再来比较PQ之间路径长度和圆弧EF的长度的大小。若PQ之间的路径可有极坐标方程,则有,可得：=- 亦即路径APQB的长度超过路径AEFB的长度。以上证明足以说明了AEFB是满足条件A到B的最短路径。5.2 模型准
10、备一 有了4.1中的定理，我们就可以这样认为，起点到目标点无论中间障碍物有多少，最短路径都应该是若干个线圆结构所组成。在本题中存在障碍物的状况，且障碍物在拐点处的危险区域是一个半径为1的圆弧，所以结合定理一，我们易知，求两点之间的最短路径中的转弯半径我们应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优。线圆结构5.21 1）如上图，设A（为起点，B（为目标点，C（和D（分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧的切点，圆心为O（，圆的半径为r，AB的长度为a，AO的长度为b，BO的长度为c，角度=, =, =，.求AB的长度，设为L.解法如下：如上图可得有以下关系：在：在中：所以：从而可得：2）而对
11、于下图两种情况我们不能直接采用线圆的结构来解决，需要做简单的变换。 情况一：线圆结构5.22 我们假设两圆心坐标分别为和,半径均为r，M点坐标为，那么我们很容易可以求得:这样我们就可以利用1）中的方法，先求A到M，再求M到B，这样分两段就可以求解。同理如果有更多的转弯，我们同样可以按照此种方法分解。情况二：线圆结构5.23 这里我们依然设圆心坐标分别为和,半径均为r，这样我们可以得到：那么直线方程为：因为公切线DE与平行，那么DE的直线方程可以表示为：其中：那么把公切线的方程于圆的方程联立，渴可以求得切点D和E的坐标。这样用D和E任意一点作为分割点都可以将上图分割成两个4.21所示的线圆结构，
12、这样就可以对其进行求解。同理多个这样的转弯时，用同样的方法可以进行分割。5.3 模型准备二 一、对于从起点经过若干点然后再到达目标点的状况，因为不能走折线路径，我们就必须考虑在经过路径中的一个目标点时转弯的状况。为了研究这个问题的方便，我们先来证明一个猜想：猜想二:如果一个圆环可以绕着环上一个定点转动，那么过圆环外两定点连接一根绳子，并以该圆环为支撑拉紧绳子，达到平衡状态时，圆心与该顶点以及两条切线的延长线的交点共线。 图5.31证明猜想：如图4.31所示，E点就是圆环上的一个顶点，AB就是拉紧的绳子，就是切线AC和BD的延长线的交点，证明、E、三点共线。我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力相等，设为，它们的合力设为，定点对圆环的作用力设为。那么由几何学的知识我们可以知道一定与共线，而又由力的平衡条件可知：=-即与共线。综上所述、和三点一定共线。二、有了以上这个定理我们可以建立以下模型：如图4.32，要求求出机器人从A绕过障碍物经过M点到达目标点B的最短路径，我们采用以下方法：用一根钉子使一个圆环定在M点，使这个圆环能够绕M点转动。然后连接A和B的绳子并以这些转弯处的圆弧为支撑（这里转弯处圆弧的半径均按照最小转弯半径来计算），拉紧绳
