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1、文数 课标版,第七节 正弦定理和余弦定理,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时 无解.,3.三角形面积 设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. () (2)在ABC中,若sin Asin B,则AB. () (3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其
2、他元素. (),(4)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC 为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形ABC为钝角三角形. () (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积. (),1.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于 ( ) A.2 B.12 C.2 D.28,答案 A 由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2 .,2.在ABC中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B=( ) A. B. C. D.1 答案 B 根据 = ,有 = ,得sin B= .故选B.,3.(20
3、16甘肃兰州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= ,b=3,c=2,则A= ( ) A. B. C. D. 答案 C 易知cos A= = = , 又A(0,), A= .故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC= ,B= ,则AB= ,ABC的面积是 . 答案 3;,解析 由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos ,AB=3(负值舍去), SABC= ABBCsin = .,考点一 利用正、余弦定理解三角形 典例1 (1)(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b= ( ) A
4、. B. C.2 D.3 (2)(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则 sin A= ( ) A. B. C. D. (3)(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则b= . 答案 (1)D (2)D (3),考点突破,sinBAC= .故选D. (3)由cos C= ,0C, 得sin C= . 由cos A= ,0A, 得sin A= . 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A= , 根据正弦定理得b= = .,
5、规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 典例2 (2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
6、D.不确定 答案 B 解析 由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)= sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A= .故选B.,方法技巧 (1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其 是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角 形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的 区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,变式2-1 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin AcosB =sin C”,试判断ABC的形状.
7、解析 由条件及正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a =c a2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“acos A= bcos B”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理, 得sin Acos A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B, 又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B= . 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,变式2-3 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)si
8、n C,且sin B+sin C=1”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 整理得a2=b2+c2+bc,则cos A=- , sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.,又由sin B+sin C=1,可得sin2B+sin2C=1-2sin Bsin C, 由cos A=- ,可得sin A= ,所以sin Bsin C= , 所以sin B=sin C= . 又易知0B ,0C ,故B=C= , 所以ABC是等腰钝角三角形.,考点三 与三角形面积有关的问题 典例3 在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(
9、2b-c)cos A=a cos C. (1)求角A的大小; (2)若a=3,b=2c,求ABC的面积. 解析 (1)由(2b-c)cos A=acos C, 得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 得2sin Bcos A=sin(A+C), 所以2sin Bcos A=sin B, 因为0B,所以sin B0, 所以cos A= ,因为0A,所以A= . (2)因为a=3,b=2c,由(1)知A= , 所以cos A= = = , 解得c= , 所以b=2 . 所以SABC= bcsin A= 2 = .,规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=
10、 absin C= acsin B= bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和 角的转化.,3-1 已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别 为a、b、c.若csin A= acos C. (1)求角C; (2)若c= ,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求ABC的面积. 解析 (1)根据 = , 可得csin A=asin C, 又csin A= acos C, asin C= acos C, sin C= cos C, tan C= = ,C(0,),C= . (2)sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B), sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A, 2sin Bcos A=25sin Acos A. ABC为斜三角形, cos A0,sin B=5sin A. 由正弦定理可知b=5a, ,
