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1、6.2 等差数列,高考理数,一、等差数列的有关概念 1.通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d,nN* . 2.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项. 3.前n项和公式 设等差数列an的公差为d,则其前n项和Sn= 或Sn= na1+ d . 二、等差数列的性质 1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).,知识清单,(2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (4)
2、若an,bn是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列. 2.与等差数列各项的和有关的性质 (1)若an是等差数列,则 也是等差数列,其首项与an的首项相同,公差是an的公差的 . (2)Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 a.若项数为2n,则S偶-S奇=nd, = . b.若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, = . (4
3、)若两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,则 = .,利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点: 1.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d). 若d=0,则an=a1是常数函数; 若d0,则an是关于n的一次函数. (n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点. 单调性:d0时,an为单调递增数列;d0时,an为单调递减数列. 2.等差数列an的前n项和Sn可表示为Sn= n2+ n,令A= ,B=a1- ,则Sn=An2+Bn(不含常数 项的二次函数). 当A0,即d0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次
4、函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx 上一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题.,【知识拓展】,等差数列的判定与证明的方法主要有以下两种: 定义法:通过证明an+1-an=d(nN*,d为常数)an为等差数列. 等差中项法:通过证明2an+1=an+an+2(nN*)an为等差数列. 例1 (2014课标全国,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常 数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 解析 (1)证明:由anan+1=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1
5、-1. 两式相减得an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an=. (2)a1=1,又a1a2=S1-1,则可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1.,突破方法,方法1 等差数列的判定与证明,令2a2=a1+a3,解得=4. 故an+2-an=4,由此可得 a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列. 1-1 (2016广西桂林中学3月月考,17,12分)已知数列an满足an+1= (nN*),且a1=0.
6、 (1)求a2,a3的值; (2)是否存在一个实常数,使得数列 为等差数列?请说明理由. 解析 (1)a2= ,a3= . (2)存在.理由: 假设存在一个实常数,使得数列 为等差数列,则 , , 成等差数列,所以,= + ,所以 = + ,解得=1. 因为 - = - = - = =- , 又 =-1,所以存在一个实常数=1,使得数列 是首项为-1,公差为- 的等差数列.,等差数列的基本运算方法: (1)等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证明,都可围绕a1和d进行. (2)对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,d.如果再给出第三个条 件
7、,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题. 例2 (2016贵州六校联盟二模,6,5分)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则a9= ( ) A.8 B.12 C.16 D.24 解析 设an的公差为d.在等差数列an中,a5=a1+4d=8,S3=3a1+ d=3a1+3d=6,即a1+d=2,解得a1 =0,d=2, 所以a9=a1+8d=82=16.选C. 答案 C 2-1 (2013北京东城高三上学期期末)已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差 d等于 ( ) A.1 B. C.2 D.3,考点一 西方人文精神的起源古希腊先
8、哲,答案 C 解析 因为a3=6,S3=12,所以S3=12= = ,解得a1=2,所以a3=6=a1+2d=2+2d,解得d=2, 选C.,等差数列在项的关系及和的问题方面都有相应的性质,充分利用好性质,利用整体思想、方 程思想考虑问题,可以大大减少运算,达到事半功倍的效果. 例3 (1)(2016河南开封二模,6,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于 ( ) A.63 B.45 C.36 D.27 (2)(2016浙江宁波二模,4,5分)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和 为390,则这个数列的项数为 ( )
9、A.13 B.12 C.11 D.10 (3)(2016山东济南三模,9,5分)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2 010, - =6,则S2 01 1= ( ) A.2 011 B.2 010 C.0 D.2 解题导引 (1)S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列可求S9-S6,方法3 等差数列的性质及应用,结论 (2)利用a1+an=a2+an-1= a3+an-2可求a1+an由前n项和公式 列方程求n (3)求 的 首项与公差由前n项和 公式求 结论 解析 (1)由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9
10、-S6=2S6-3S3=4 5,故选B. (2)因为a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146(n3), a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180, 又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2, 所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60,所以Sn= = =390,即n=13. (3)由等差数列的性质可得 也为等差数列,设公差为d, - =6d=6,d=1. 故 = +2 010d=-2 010+2 010=0, S2 011=0,故选C. 答案 (1)B (2)A (3)C 3-1 (2016甘肃兰州二诊,16,5分)等差数列an的前n项和
11、为Sn,已知am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m= . 答案 10 解析 由am-1+am+1- =0得2am- =0,解得am=0或2. 又S2m-1= =(2m-1)am=38, 显然可得am0,所以am=2,代入上式可得2m-1=19,解得m=10.,求等差数列an的前n项和Sn的最值的方法: 二次函数法将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得 解 通项公式法求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值 不等式法借助Sn最大时,有 (n2,nN*),解此不等式组确定n的范围,进而确定n的值 和对应Sn的值(即Sn的最值
12、) 例4 (2014北京海淀一模,18,12分)等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少 时,Sn最大? 解析 解法一:由S3=S11得3a1+ d=11a1+ d,则d=- a1. 从而Sn= n2+ n=- (n-7)2+ a1, 又a10,所以- 0. 故当n=7时,Sn最大.,方法4 等差数列前n项和的最值问题,解法二:由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n= =7对称.由 解法一可知a=- 0,S3=S11可知d0,a80,所以当n=7时,Sn最大.,4-1 (2016江西吉安质检二,9,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若S150,S160,则 , , , 中最大的是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由 故an是递减数列,前8项为正,从第9项 起为负,故S8最大,而正项中a8最小, 最大,故选C.,
