《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件（理）（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 函数的奇偶性与周期性,【知识梳理】 1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的任何值时,都有_, 那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期.,f(x+T)=f(x),(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 _的正数,那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期.,存在一个最小,【特别提醒】 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函
2、数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a0). (2)若f(x+a)= 则T=2a(a0). (3)若f(x+a)= 则T=2a(a0).,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P39A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数，且当x0时，f(x)= 则f(-1)等于( ) A-2 B0 C1 D2 【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.,2.(必修1P39A组T6改编)已知f(
3、x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是 .,【解析】方法一:当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2-4(-x) =x2+4x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,当 x-2,+)时,x+20,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)5, 解得:-3x3,所以-2x3; 当x(-,-2)时,x+20,f(x+2)=(x+2)2+4(x+2)5, 解得-7x-1,所以-7x-2. 综上可得-7x3,故f(x+2)5的解集是x|-7x3.,方法二:如图所示,可知f(x)5的解集为x|-5x5, 所以-5x+25,即-7x3
4、, 故f(x+2)5的解集为x|-7x3. 答案:x|-7x3,感悟考题 试一试 3.(2015北京高考)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx| D.y=2-x,【解析】选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x) =f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.,4.(2014全国卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函
5、数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,【解析】选C.设H(x)=f(x)|g(x)|, 则H(-x)=f(-x)|g(-x)|, 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以H(-x)=-f(x)|g(x)|=-H(x), 故H(x)是奇函数.,考向一 函数奇偶性的判断 【典例1】(1)(2015福建高考)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= B.y=|sinx| C.y=cosx D.y=ex-e-x,(2)判断下列函数的奇偶性: f(x)= f(x)=3x-3-x； f(x)= f(x)=,【解题导引】(1)奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).
6、当在原点处有定义时,f(0)=0. (2)先求出定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)之间的关系.,【规范解答】(1)选D.函数y= 是非奇非偶函数；y=|sin x|和y=cos x是偶函数；y=ex-e-x是奇函数 (2)因为由 得x=1， 所以f(x)的定义域为-1,1 又f(1)+f(-1)=0，f(1)-f(-1)=0，即f(x)=f(-x) 所以f(x)既是奇函数又是偶函数;,因为f(x)的定义域为R， 所以f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数; 因为由 得-2x
7、2且x0. 所以f(x)的定义域为-2,0)(0,2， 所以f(x)=,所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数; 已知f(x)的定义域为(-1,1)， 其定义域关于原点对称. 因为f(x)= 所以f(-x)= =f(x). 即f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.,【易错警示】解答本题(2)会出现以下错误: (1)忽视函数的定义域. (2)对函数奇偶性概念把握不准. (3)存在既是奇函数,又是偶函数的情形,对不知如何判断.,【规律方法】判断函数奇偶性的两种重要方法 (1)定义法:,(2)图象法:,易错提醒:对函数奇偶性的判断,不能用特殊值法,如存在x0使f(-x0)=-f(x0
8、),不能判断函数f(x)是奇函数.,【变式训练】(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y=x+ex B. C.y= D.,【解析】选A.函数y=x+ex的定义域为R，关于原点对 称，因为f(1)=1+e,f(-1)= 所以函数y=x+ex既 不是奇函数，也不是偶函数； 函数 的定义域为x|x0，关于原点对称,因为 所以函数 是奇函 数；,函数f(x)= 的定义域为R，关于原点对称，因为 f(-x)= =f(x), 所以函数f(x)= 是偶函数； 函数y= 的定义域为R，关于原点对称，因为 所以函数 是偶函数.,【加固训练】 1.设Q为有理数集，函数f(x)=
9、 g(x)= 则函数h(x)=f(x)g(x)( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数,【解析】选A.因为当xQ时，-xQ， 所以f(-x)=f(x)=1；当x 时， 所以f(-x)=f(x)=-1. 综上，对任意xR，都有f(-x)=f(x)， 故函数f(x)为偶函数. 因为g(-x)=,所以函数g(x)为奇函数. 所以h(-x)=f(-x)g(-x) =f(x)-g(x) =-f(x)g(x)=-h(x)， 所以函数h(x)=f(x)g(x)是奇函数. 所以h(1)=f(1)g(1)=,h(-1)=f(-1)g(-1
10、)= h(-1)h(1)， 所以函数h(x)不是偶函数.,2.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 ( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数,【解析】选D.f(x+1)是奇函数, 则有f(-x+1)=-f(x+1); f(x-1)是奇函数,则有f(-x-1)=-f(x-1); 在式中用x+1代替x,则有f(-(x+1)+1)=-f(x+1)+1),即f(-x)=-f(x+2);,在式中用x-1代替x,则有f(-(x-1)-1)=-f(x-1)-1),即f(-x)=-f(x-2), 则f(x-2)=f
11、(x+2),可知周期为4, 则f(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3). 由式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3),所以f(x+3)是奇函数.,3.下列函数 f(x)=x2-|x|+1,x-1,4； f(x)= f(x)= (a0，且a1)；,f(x)= 其中是奇函数的为_(只填序号),【解析】由于f(x)=x2-|x|+1，x-1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数; f(x)的定义域为(-2,2); 所以函数f(x)为奇函数,因为f(x)的定义域为x|xR，且x0，其定义域关于原点对称，并且有 f(-x)= 即f
12、(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数;,f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x0时，f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x)；当x0时，f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x)；当x=0时，f(0)=0，也满足f(-x)=-f(x)故该函数为奇函数 答案:,考向二 函数的周期性及其应用 【典例2】(1)(2016唐山模拟)设f(x)是定义在R上 的周期为2的函数，当x-1,1)时，f(x)= 则 =_.,(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+4)=f(x)当x0,2时，f(x)=2x-x2. 则f(2 017)=_,【解题导
13、引】(1)利用周期为2得 再求值 即可. (2)先求出函数的周期，然后利用周期的性质代入求解. 【规范解答】(1) 答案:1,(2)因为f(x+4)=f(x)，所以周期T=4. 又f(1)=1， 所以f(2 017)=f(1+4504)=f(1)=1. 答案:1,【母题变式】 1.若本例题(2)的条件“f(x+4)=f(x)”变为“f(x+2) =-f(x)”,求f(0)+f(1)+f(2)+f(2015)的值.,【解析】因为f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以f(x)的最小正周期为4. f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)
14、=-f(1)=-1.,又因为f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2015)=0.,2.若本例题(2)的条件不变,求f(x)(x2,4)的解析式. 【解析】当x-2,0时,-x0,2, 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2. 所以f(x)=x2+2x.,又当x2,4时,x-4-2,0, 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4
15、). 又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 故x2,4时,f(x)=x2-6x+8.,【规律方法】函数周期性的判定与应用 (1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x) (T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,【变式训练】设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1 时，f(x)=2x(1-x)，则 等于( ) 【解析】选A.因为f(x)是周期为2的奇函数， 所以,【加固训练】 1.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时， f(x)=x-1，则不等式xf(x)0在-1,3上的解集 为( ) A(1,3) B(-1,1) C(-1,0)(1,3) D(-1,0)(0,1),【解析】选C.f(x)的图象如图.,当x(-1,0)时,由xf(x)0得x(-1,0); 当x(0,1)时,由xf(x)
