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1、第二节 不等式的证明,总纲目录,教材研读,1.比较法,考点突破,2.综合法与分析法,3.反证法,考点二 用综合法、分析法证明不等式,考点一 比较法证明不等式,考点三 放缩法证明不等式,4.放缩法,5.平均值不等式,考点四 柯西不等式的应用,1.比较法 (1)作差法(a、bR):a-b0 ab ;a-b0,b0): 1 ab; 1ab; =1a=b.,教材研读,2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系 列的 推理、论证 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导 果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直
2、到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这是一种 执果索因 的思考和证明方法.,3.反证法 先假设要证明的命题 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用 公理、定义、定理、性质等,进行正确的 推理 ,得到和命题的条 件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论,以 说明假设 不正确 ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.,4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地 放大 或 缩小 ,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而 得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.,5.平均值不等式 如果a1、a2、an为n个正数,则 ,当
3、且仅当a1 =a2=an时,等号成立. 附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证 法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.,1.已知a,bR+,a+b=2,则 + 的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 B a,bR+,且a+b=2, (a+b) =2+ + 2+2 =4, + =2, 即 + 的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.,2.若ab1,x=a+ ,y=b+ ,则x与y的大小关系是 ( ) A.xy B.xy C.xy D.xy,答案 A x-y=a+ - =a-b+ = . 由ab1得ab1,a-b
4、0, 所以 0,即x-y0,所以xy.,A,3.若a,b,mR+,且ab,则下列不等式一定成立的是 ( ) A. B. C. D. ,答案 B a,b,mR+,且ab, - = 0, 即 ,故选B.,B,4.设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 .,答案,解析 根据柯西不等式得 = |ma+nb|= ,当且仅当 = (a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 的最小值为 .,5.设a0,b0,若 是3a与3b的等比中项,求证: + 4.,证明 由 是3a与3b的等比中项得3a3b=3,即a+b=1. 要证原不等式成立, 只需证 + 4,
5、 即证 + 2. 因为a0,b0, 所以 + 2 =2 当且仅当 = ,即a=b= 时,取等号 , 所以 + 4.,6.若a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求 + + 的最大值.,解析 ( + + )2=(1 +1 +1 )2(12+12+12)(a+b+c)=3. 当且仅当a=b=c= 时,等号成立. ( + + )23. 故 + + 的最大值为 .,典例1 设a,b是非负实数,求证:a3+b3 (a2+b2).,考点一 比较法证明不等式,考点突破,证明 a,b是非负实数, a3+b3- (a2+b2)=a2 ( - )+b2 ( - ) =( - )( )5-( )5. 当ab时,
6、,从而( )5( )5, 得( - )( )5-( )50; 当a0. 所以a3+b3 (a2+b2).,方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常 将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断 出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且 第(3)步要判断商与1的大小.,1-1 已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.,证明 (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因为a,b都是正数, 所以a+b0. 又因为ab, 所以(
7、a-b)20. 于是(a+b)(a-b)20, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)0, 所以a3+b3a2b+ab2.,1-2 已知a,b(0,+),证明:aabb(ab .,证明 a,b(0,+), = = , 当a=b时, =1. 当ab时, 1, 0, 则 1. 当ba时,01. 综上可知,aabb(ab 成立.,典例2 (2017课标全国理,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,考点二 用综合法、分析法证明不等式,2-2 (2015课标全国理,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)
8、若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 ,且a+b=c+d, abcd,所以( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|c-d|, 则(a-b)2(c-d)2,典例3 若a,bR,求证: + .,考点三 放缩法证明不等式,证明 当|a+b|=0时,不等式显然成立. 当|a+b|0时,由0|a+b|a|+|b| , 所以 = = = + + .,规律总结 (1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩 变换: 变换分式的分子和分母,如 , .以
9、上不等式中kN*,k1; 利用函数的单调性; 真分数性质“若00,则 ”. (2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.,3-1 设n是正整数,求证: + + 1.,证明 由2nn+kn(k=1,2,n), 得 . 当k=1时, ; 当k=2时, ; 当k=n时, , 所以 = + + =1. 原不等式成立.,典例4 已知x,y,z均为实数. (1)若x+y+z=1,求证: + + 3 ; (2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.,考点四 柯西不等式的应用,解析 (1)证明:因为( + + )2(12+12+12)(3x+1+3y+2+3 z+3)=27. 所以
10、 + + 3 . 当且仅当x= ,y= ,z=0时取等号. (2)因为6=x+2y+3z , 所以x2+y2+z2 ,当且仅当x= = ,即x= ,y= ,z= 时,x2+y2+z2有最小值 .,规律总结 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当 一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不 等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构:( + + ) (1+1+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为 常数且应注意等号成立的条件.,4-1 设x,y,zR,x2+y2+z2=25,试求x-2y+2z的最大值与最小值.,解析 根据柯西不等式,有(1x-2y+2z)212+(-2)2+22(x2+y2+z2), 即(x-2y+2z)2925, 所以-15x-2y+2z15, 故x-2y+2z的最大值为15,最小值为-15.,4-2 已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3 .求证: + + .,证明 由柯西不等式及题意得, (x+ 2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)(x+y+z)2=27. 又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=6(x+y+z)=18 , + + = , 当且仅当x=y=z= 时,等号成立.,
