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1、高等土力学讲义,土工数值计算中的有限单元法,清华大学水利系岩土所 2013年5月,介玉新,jieyx,有限单元法：,求解偏微分方程的一种方法,微积分：,以点代面，由表及里，以偏概全,线性代数：,数据处理的方法,概率论与数理统计：,资料收集分析的方法,小于某粒径之土质量百分数（）,粒径(mm),土的粒径级配累积曲线,d50,分布函数,概率密度函数,解析解；表格化、图表化；,早期,计算机不发达,lg,ln,计算机发展,数值解,有限元,本构关系研究,数 学 用 表 计 算 尺 手摇计算机 PC机、286、386、486、586,早期：,速度慢、内存小，编程以节省空间、节省时间为主,目前：,以通用性、
2、可读性为主,1 概述 2 比奥固结理论的有限元格式 3 有限单元法的求解方法 4 有限元计算中的处理方法 5 文献阅读和编程中注意事项 6 关于FORTRAN语言 7 案例分析：理论、经验和直觉,目录,1 殷宗泽，土工原理与计算，中国水利水电出版社，1996 2 龚晓南，土工计算机分析，中国建筑工业出版社，2000 3 朱百里，沈珠江，计算土力学，上海科学技术出版社，1990 4 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社，2000 5 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，1997 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 6 Desai，岩土工程数值方法，1
3、981,参考文献,1 概述,基本方程：,比奥固结方程,基本方法：,有限差分法,有限单元法,FLAC,常用方法,本讲义以平面应变情况为例讲解,1 概述,1.1 平衡方程,总应力表示的平衡方程：,以孔压表示的平衡方程：,其中：,1 概述,1.1 平衡方程,以总水头表示的平衡方程：,其中：,记,1 概述,1.2 连续性方程,体积压缩：,流出水量：,水的压缩：,Q,V= -V dV,C= Ss h dV,连续性要求：,Q V- C,达西定律,1 概述,1.2 连续性方程,Ss 0,以孔压表示,以总水头表示,1 概述,比奥固结方程,平衡方程与连续性方程联立,以总水头表示,以孔压表示,1 概述,求解比奥固
4、结方程，还需要：,物理方程：,几何方程：,边界条件：,力、位移边界,水头、流量边界,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,里兹法：,构造泛函,离散化,要求：泛函的驻 值能够满足微分 方程和边界条件,变分原理：,若由泛函的驻值条件=0能够求得对应连续问题的解，则定义描述和求解该问题的定理统称为变分原理,泛函来源：,伯努利：最速降线问题,泛函：函数的函数,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,分片离散化,伽辽金法：,试函数,取试函数为权函数的加权残值法,加权残值=0,有限单元法本质：,求解二维、三维情况下偏微分方程的一种方法,里兹法：,便于理论分析,伽辽金法：,便于构造有限元格式，理解相关概念
5、,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,有限元原理,里兹法,变分原理,最速降线问题,泛函分析,伽辽金法,加权残值法,虚位移原理不具一般性,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,本构方程本质：,非线性弹性模型：,由事物内部因素控制，故称物理方程,研究D阵（物理方程）及其变化，也即和的关系及其变化,如Duncan-Chang模型：,研究E、及其变化,弹塑性模型：,将变形分为两部分：,可恢复部分：广义虎克定律,不可恢复部分：塑性理论,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,不可恢复部分（塑性部分）：,塑性理论,产生不可恢复变形（塑性变形）的条件,屈服准则 f=k,屈服标准的变化,硬化规律 f=F
6、(H),塑性变形发生后各应变分量之间的关系,流动规则：塑性势 g,已知 f, F, g，可以得到：,H的本质？,1 概述,1.3 有限单元法的基本原理,汇总：,大应变：,拉面,小应变大转动：,乒乓球压瘪,本讲义内容,2 比奥固结理论的有限元格式,用伽辽金方法推导，以平面4节点单元为例,2.1 伽辽金方法概述 2.2 以总水头为未知数的比奥固结 理论有限元格式 2.3 以孔压为未知数的比奥固结理 论有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2.1 伽辽金方法概述,伽辽金法：,取试函数为权函数的加权残值法,参考：龚晓南土工计算机分析,2 比奥固结理论的有限元格式,加权残值法：,2.1 伽辽金方法概
7、述,Q：待求函数 F, G：微分算子 (微分运算关系),设试函数,有：,Ui : 待定系数,Ti : 形式已确定的试函数,代入微分方程和边界条件，有残值：,2 比奥固结理论的有限元格式,2.1 伽辽金方法概述,消去残值的方程：,内部残值方程,边界残值方程,加权残值法,2 比奥固结理论的有限元格式,2.1 伽辽金方法概述,伽辽金法：,权函数取为试函数,设试函数,Ui : 单元节点未知量， 位移或孔压（水头）,Ni : 形函数（试函数）,n : 单元节点数,取形函数 Ni 为权函数：,内部残值方程,边界残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,2.2 以总水头为未知数的比奥 固结理论有限元格式,2.
8、2.1 平衡方程的有限元格式,2.2.2 连续方程的有限元格式,2.2.3 增量形式的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2.2.1 平衡方程的有限元格式,总应力表示的平衡方程,形函数Ni：,平面4节点4边形单元：,N1,N2,N3,N4,边界条件,2 比奥固结理论的有限元格式,单元内部残值方程,对任一权函数（形函数）Ni ( i =1, 2, 3 4 ),边界残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,利用分部积分法：,2 比奥固结理论的有限元格式,单元内部残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,边界残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,对N1 N4四个形函数均成立，共有8个等式,矩阵形
9、式,2 比奥固结理论的有限元格式,总应力,2 比奥固结理论的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,平衡方程有限元格式,其中：,多出一项,2 比奥固结理论的有限元格式,2.2.2 连续方程的有限元格式,流量边界条件,总水头表示的连续方程,单元内部残值方程,对任一权函数（形函数）Ni ( i =1, 2, 3 4 ),边界残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,利用分部积分法：,2 比奥固结理论的有限元格式,单元内部残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,流量边界条件,边界残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,边界残值方程,单元内部残值方程,2 比奥固结理论的有限元格式,对N1 N4四个形函
10、数均成立，共有4个等式,矩阵形式,v= x+ y,2 比奥固结理论的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,连续方程的有限元格式,其中：,2 比奥固结理论的有限元格式,其中：,平衡方程与连续方程联立,多出一项,2 比奥固结理论的有限元格式,2.2.3 增量形式的有限元格式,参考：龚晓南 土工计算机分析,时段 tn-1tn 之间，有：,平衡方程,增量形式,其中：,在相减中约去,注意刚度矩阵已发生变化,2 比奥固结理论的有限元格式,连续方程,在时段 tn-1tn 上积分：,通常 情况,一般取0.51，通常取2/3,差分法亦可，但比较局限，相当于1,2 比奥固结理论的有限元格式,将积分成果代入方程
11、：,其中：,2 比奥固结理论的有限元格式,其中,平衡方程与连续方程联立,2 比奥固结理论的有限元格式,2.3 以孔压为未知数的比奥 固结理论有限元格式,2.3.1 平衡方程的有限元格式,2.3.2 连续方程的有限元格式,2.3.3 增量形式的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2.3.1 平衡方程的有限元格式,总应力表示的格式,以孔压表示的格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2.3.2 连续方程的有限元格式,总水头表示的格式,2 比奥固结理论的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,其中：,平衡方程与连续方程联立,多出一项,2 比奥固结理论的有限元格式,2
12、.2.3 增量形式的有限元格式,时段 tn-1tn 之间，有：,平衡方程,增量形式,其中：,与总水头表示的荷载增量相同,2 比奥固结理论的有限元格式,连续方程,在时段 tn-1tn 上积分：,其中：,2 比奥固结理论的有限元格式,其中,平衡方程与连续方程联立,2 比奥固结理论的有限元格式,其中,汇总,水头为未知数,孔压为未知数,由于,进一步分析,水头为未知数,孔压为未知数,因此,2 比奥固结理论的有限元格式,2 比奥固结理论的有限元格式,作 业,直接用孔压表示的连续方程推导以孔压为未知数的有限元格式，即用下式推导：,注意,流量边界处理,3 有限单元法的求解方法,3.1 填筑分期，加载分级 3.
13、2 每期荷载下的计算方法,3 有限单元法的求解方法,3.1 填筑分期，加载分级,分期：,模拟施工和加载过程，第一期一般为地基,分级：,每一期内荷载分段施加，考虑土应力应变的非线性,2,3,1,3 有限单元法的求解方法,3.2 每期荷载下的计算方法,增量法,迭代法,计算方法,基本增量法,中点增量法,直接迭代法,N-R迭代法,常用 方法,常用 方法,3 有限单元法的求解方法,1 增量法,基本增量法：,中点增量法:,一般取上一级对应的D阵,F,方法2：先直接用 F 初算一次，用得到的与上一级的平均，以计算D，然后再用F计算，作为正式成果。或者用两次计算的K平均。,3 有限单元法的求解方法,补充解释,
14、由于找不到起始点（即零点），所以只能得到土的切线模量，得不到割线模量,割线模量,切线模量只对局部有效，所以严格讲，哪一荷载对应的模量都不合适,Kulhawy、Duncan等,对一侧限约束的一维柱体进行计算，并与理论解比较,中点增量法误差约为基本增量法的一半，如果分层较密，中点增量法与理论解误差有望5%,表明：,本构关系的积分,3 有限单元法的求解方法,参考：Desai岩土工程数值方法,3 有限单元法的求解方法,2 迭代法,直接迭代法：,Newton-Raphson迭代法:,用割线模量直接迭代,不能适用于土,用切线模量进行迭代,3 有限单元法的求解方法,修正的Newton-Raphson迭代法:
15、,迭代过程中切线模量不变,N-R迭代法,修正的N-R迭代法,常用方法,虽然收敛慢些，但不必每次计算K阵，所以整体速度更快,3 有限单元法的求解方法,3 增量迭代法,增量法和迭代法混合，在每一增量步内用迭代法计算,4 有限元计算中的处理方法,4.1 地基土单元处理 4.2 新填土单元处理 4.3 邓肯-张模型的处理 4.4 界面单元 4.5 不可压缩材料,4 有限元计算中的处理方法,4.1 地基土单元处理,4.2 新填土单元处理,方法1：,方法2:,直接给应力赋值，应变、位移置0,用有限元计算，应变、位移置0，只保留应力,1 新填土单元应变、位移置0，只保留应力， 应力可通过有限元计算或直接赋值,2 为防止新填土单元约束下部土体，可取其 模量为下部土体模量的1/5001/1000,最大竖向位移一般在中间,4 有限元计算中的处理方法,4.3 邓肯-张模型的处理,1 加卸载判断,参考Duncan的FEDAM84程序,SS SS上：,加载，模量取 Et,SS SS上：,卸载，,弹性模量,切线模量Et,弹性模量Eur,4 有限元计算中的处理方法,2 土单元受拉时，即3 0,本人建议：,对砂土，模量取 1/1001/1000Et,对粘性土，,模量取 1/3Et 左右,模量取小值 1/1001/
