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1、沙市中学2015级2018年元月考数学（文科）试题 满分:150分 第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则=（ ）A B C D 2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是（ ）A B C D3. 从中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ）A B C D 4. 在等比数列中是函数的极值点，则=（ ） A B C D5. 已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数的图象（ ）A关于直线对称 B关于直线对称 C关于点对称 D关于点对称6. 在椭圆中任取
2、一点，则所取的点能使直线与圆恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆的面积公式为）A B C D7.已知实数满足约束条件，若，设表示向量在方向上的投影，则的取值范围是（ ）A B C D 8.过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）A B C D9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的（ ）A B C D10. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A B C D11. 已知偶函数满足且当，则函数在上的零点个为（ ）A4 B5 C6 D812. 已知下列命题：命题“，”的否定是：“，”；若样
3、本数据的平均值和方差分别为和则数据的平均值和标准差分别为，；两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；在列联表中，若比值相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大已知、为两个平面，且，为直线则命题:“若则”的逆命题和否命题均为假命题设定点、，动点满足条件，则的轨迹是椭圆其中真命题的个数为( )A5 B4 C3 D2第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量且，则 14.已知数列为等差数列，为的边上任意一点，且满足，则的最大值为 15. 抛物线的焦点为为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点)，且外接圆的面
4、积为，则 16.“求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在如图四边形中，为的内角的对边，且满足.()证明：成等差数列； ()已知求四边形的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.()求证：；()若上一点满足，求与所成角的余弦值.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益保费收入）的频率分布直方图如图所示：（）试估计平均收益率；（）根据经验若每份保单的保费在元的基础
5、上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下组与的对应数据：(元)销量（万份）（）根据数据计算出销量（万份）与（元）的回归方程为；（）若把回归方程当作与的线性关系，用（）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.()求椭圆的标准方程；()已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.21（本小题满分12分）已知函数，.（）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；（）若
6、幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系中，曲线（为参数且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）求与交点的直角坐标；（）若与相交于点，与相交于点，求当时的值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，不等式成立.（）求实数的取值范围；（）在（）的条件下，对于实数满足且不等式恒成立，求的最小值.数学（文科）试题参考答案题号123456789101112答案CDBADBDACBCA13. 14. 15. 16. 17. 解析：()由题设有即由三角形内角和定理有由正弦定理有成等差数列
7、() 在中，由余弦定理有即,即则为. 由于18. 解析：（）证明：直三棱柱中，,又，取的中点，连接,为中点，且。又为中点，且且，故四边形为平行四边形，()由等体积法有,则为中点。取中点,连,则,故与所成角为（或其补角）在中，由余弦定理有即为所求角的余弦值19. 解析：（）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均获益率为（）（i）则即（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费获益为万元， 当元时，保费收入最大为万元，保险公司预计获益为万元.20. 解析：（）设椭圆C的焦距为2c(c0)
8、，依题意，解得，c=1，故椭圆C的标准方程为；（）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由得：所以， 所以，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切.21. 解析：（）由题设可得，令则令得 0递减极小值递增 且 有两个不等实根 即 （）由题设有，令则，令 则又，在在单调递增又当，即时，所以在内单调递增，所以当，即时，由在内单调递增，且使得0递减极小值递增所以的最小值为，又，所以， 因此，要使当时，恒成立，只需，即即可解得，此时由，可得以下求出的取值范围设， 得，所以在上单调递减，从而综上所述，的取值范围22.解析：（）由题设有曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，联立解得或即与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为其中因此的极坐标为，的极坐标为。所以，当时，.23.解析：（）令，则，由于,不等式成立，（）当时，不等式恒成立等价于恒成立，由题意知根据基本不等式有从而（当且仅当时等号成立）。再由基本不等式（当且仅当时等号成立）的最小值为
