《高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第6讲 离散型随机变量的均值与方差课件（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第6讲 离散型随机变量的均值与方差课件（理）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲 离散型随机变量的均值与方差,1.离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值和方差的性质 设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，,aE(X)b,则 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X).,3.两点分布及二项分布的均值和方差,p,np,(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).,1.已知的分布列为,则 E()(,)
2、,D,A.0,B.0.2,C.1,D.0.3,2.已知随机变量的分布列是：,则 D()(,),B,A.0.6,B.0.8,C.1,D.1.2,解析：E()10.420.230.42，则D()(1,2)20.4(22)20.2(32)20.40.8.,D,3.已知的分布列为：,A.E()p，D()pq B.E()p，D()p2 C.E()q，D()q2 D.E()1p，D()pp2,其中 p(0,1)，则( ),C,考点 1,离散型随机变量的期望,例 1：(2015 年福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内 出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱 时，发现自己忘记了银行卡的密
3、码，但是可以确定该银行卡的 正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随 机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试， 直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布 列和数学期望.,解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，,(2)依题意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3.,所以 X 的分布列为,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：,则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
4、 (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn 求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽 取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.,【互动探究】,1.(2012 年大纲)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比 分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依 次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分.设在甲、乙的比 赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负 结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.,(1)求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1
5、比 2 的概率； (2)表示开始第 4 次发球时乙的得分，求的期望.,考点 2,离散型随机变量的方差,例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分， 取出 1 个蓝球得 3 分. (1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放 回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量为取出这 2 个球 所得分数之和，求的分布列； (2)从该袋子中任取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记 bc.,解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，2，,当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，3，,当两次取
6、出的球分别是黄黄，红蓝，或蓝红时，4，,当两次取出的球分别是蓝蓝时，6，,所以的分布列是：,当两次取出的球分别是黄蓝，或蓝黄时，5，,(2)由已知，得有三种取值即 1,2,3，所以的分布列是：,故 abc321.,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：,xnE(X)2pn为随机变量X的方差,(2)若X 是随机变量，且YaXb，其中a，b 是常数，则 Y 也是随机变量，则 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aX b)a2D(X).,(3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变 量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方 差大，说明随机变量取值
7、较分散；方差小，说明取值较集中.,【互动探究】,考点 3 二项分布的期望和方差,例 3：某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销 售量的频率分布直方图，如图 9-6-1.将日销售量落入各组的频 率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.,图 9-6-1,(1)估计日销售量的众数； (2)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (3)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数， 求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X).,(2)记事件 A1：“日销售量不低于 100 个”， 事件 A2：
8、“日 销售量低于 50 个”，事件 B：“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”.,则 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15，,P(B)0.60.60.1520.108. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3.,分布列为：,因为 XB(3,0.6)，所以期望 E(X)30.61.8， 方差 D(X)30.6(10.6)0.72.,【规律方法】若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).,【互动探究】,3.(2013 年福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了,
9、人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会 结束后凭分数兑换奖品.,(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们,的累计得分为 X，求 X3 的概率；,(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问： 他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？,思想与方法,利用分类讨论思想求数学期望,例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年 入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米) 都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超过 120 的
10、年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量 相互独立.,(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概,率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最,多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发 电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的 均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为 Y 万元. 安装 1 台发电机的情形.,由于水库年入流量总大于40，故1 台发电机运行的概率为,1，对应
11、的年利润 Y5000，E(Y)500015000；,安装 2 台发电机的情形.,依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000 800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p1 0.2 ；当 X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)42000.210 0000.88840； 安装 3 台发电机的情形.,依题意，当40120时，3台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.,由此得 Y 的分布
12、列如下：,所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装,发电机 2 台.,【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力， 关键在于如果迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型， 化归为数学期望问题.,1.古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为,，其中，在实际应用中 P(B|A) ,n（AB） n（A）,是一种重要的求条件概率的方法.,2.相互独立事件与互斥事件的区别. 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式 为 P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不 会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B).,3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应,用和理论分析中都有重要的地位.,(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一 是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一； 其二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次.,(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是,是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率，p 与(1p)的位 置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件 A 有 k 次不发生的概率了.,
