《2006全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) .0ln(1)imcosx(2) 微分方程 的通解是 .yx(3) 设 是锥面 ( )的下侧，则2z01z23(1)xdyzxzdy.(4) 点 到平面 的距离 = .(2,10)345xyz(5) 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 = .2AEB2AEB(6)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY0,3= .max,1P二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合
2、题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增()yfx()0,()fxfx:0x量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则( ):df0 (A) (B)0.xy.yd:(C) (D) (8) 设 为连续函数，则 等于( )(,)fxy140(cos,in)dfrrd(A) (B)2210(,).xdfy 2210(,).xfy(C) (D) 2210(,).yfd 2210(,).ydfd(9) 若级数 收敛，则级数( )1na(A) 收敛 . (B) 收敛.1n 1()na (C) 收敛. (D) 收敛. 1na112na(
3、10) 设 与 均为可微函数，且 . 已知 是 在约束(,)fxy(,)(,)0yx0(,)xy(,)fx条件 下的一个极值点，下列选项正确的是( ),0(A)若 ，则 .)xfy0(,)yfx(B)若 ，则 .0(, (C)若 ，则 .)xfy0(,)yfx(D)若 ，则 .0(,(11) 设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是( )12sa nAmn(A)若 线性相关，则 线性相关.,s 12,sa(B)若 线性相关，则 线性无关 .12s s(C)若 线性无关，则 线性相关 .,sa 12,sA(D)若 线性无关， 线性无关. 12s sa(12) 设 为 3 阶矩阵，将 的第
4、 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的-1 倍加到第 2AB列得 ，记 ，则( )C01P(A) (B)1.A 1.CPA(C) (D) TP T(13) 设 为随机事件，且 ，则必有( ),B()0,(|)1B(A) (B)().A.PAB(C) (D) (P()(14) 设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且X21(,)NY2,)N则必有( )12|Y (A) (B)12.12.(C) (D) .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设区域 ,计算二重积分 .2,1
5、,0Dxyx21DxyId(16)(本题满分 12 分)设数列 满足 .nx110,sin1,2xx(I)证明 存在 ,并求该极限 ；lim(II)计算 .21linxn(17)(本题满分 12 分)将函数 展开成 的幂级数 .2xfx(18)(本题满分 12 分)设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式fu0,2zfxy2zxy(I) 验证 .0fuf(II) 若 求函数 的表达式.1,1,fffu(19)(本题满分 12 分)设在上半平面 内,函数 是有连续偏导数,且对任意的 都,0Dxyfxy0t有 .2,ftxytf证明: 对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都有 DL ,0Lyf
6、xdfy:(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 个线性无关的解1234145xxab3(I) 证明方程组系数矩阵 的秩 ;Ar(II) 求 的值及方程组的通解.,ab(21)(本题满分 9 分)设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ,向量 是3A312,0,1TT线性方程组 的两个解.0x(I) 求 的特征值与特征向量 (II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA(22)(本题满分 9 分)随机变量 的概率密度为 x1,102,240Xxfx其 他为二维随机变量 的分布函数.求2,yXFxy令 (,)Y(I) 的概率密度 ; (II) .YYf 1,42F(23)(本题
7、满分 9 分) 设总体 的概率密度为 . X ,01,01201,xfx其 中 是 未 知 参 数其 它为来自总体 的简单随机样本,记 为样本值 中小于 的个数,求12n,. N12,.nx的最大似然估计. 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换， 时， ，0x21ln(1),cosxx:=2200ln(1)imlicosxx(2)【答案】 .xCe【详解】分离变量，(1)dyx(1)dyx1()dyx1dyxdlnclnlnyxcexyCe(3)【答案】 2【详解】补一个曲面 ,取上侧，则 组成的封闭立体 满足高斯公式，21:
8、xyz1 11()PQRdvPydzQxRdyIxyz 设 ，则,2,3(1)236xyz ( 为锥面 和平面 所围区域) ( 为上述圆锥体体积)I6dxyz1V注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积方法 1： (高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)I23而 ( 在 上： )1 1)0xdyzxzdy 1,0zd方法 2：先二重积分，后定积分.因为 ， ， ， ， ，0VSz2rxy22rxy2rz2Srz 所以 .从而1122003Vzd 623IV方法 3：利用球面坐标. 在球坐标下为： ，1cos1224cos006inIdd24300sincod2430s()co 4220
9、01()()s2方法 4：利用柱面坐标 . 21006rIddz2100()rd1223006()2(4)【答案】 2【详解】代入点 到平面 的距离公式0(,)Pxyz0AxByCzD022642915ABd(5)【答案】 【详解】由已知条件 变形得， , 两边取行列BAE2BAE()2BAE式, 得()24其中， ， 2101AE 2E4因此， .42B(6)【答案】 19【详解】根据独立性原理：若事件 独立，则1,nA 1212n nPAPA 事件 ，而随机变量 与 均服max,XYYXYXY从区间 上的均匀分布，有 和 . 又随机0,3 103dx103dy变量 与 相互独立，所以，ax
10、(,)1,PyPxYPY9二、选择题.(7)【答案】 A【详解】方法 1： 图示法. 因为 则 严格单调增加；因为 则 是凹函数，又()0,fx()fx()0,fx()fx，画 的图形:2结合图形分析，就可以明显得出结论： .0dy:方法 2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)0 0()()ydfxfxfx:(再用一次拉氏定理)0, 其中f000,x:由于 ，从而 . 又由于 ，故选()fxyddyfA方法 3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：，000()()fffx()20 00 0() )!nnfxfxR其中 . 此时 取 1 代入，可得(1)00()!nnnfRx 20
11、00()()0ydfffxfxO x0 x0+x xyy=f(x) ydy 又由 ，选 .0()dyfx()A(8)【答案】 ()C【详解】记 ，则区域 的极坐标表示是：140(cos,in)(,)DdfrrdfxydD， . 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图r形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 与 在第一象限的交点是yx21y)，于是 2（ ， ） 2:0,所以，原式 . 因此选 2210(,)ydfxd ()C(9) 【答案】 D【详解】方法 1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为 收敛，所以 也收敛，所以 收敛，从而 也收敛.选 D.n
12、a1na 1()na12na方法 2：记 ，则 收敛. 但 ，( 级数， 级数发散)；()1n11nnp( 级数， 级数发散) 均发散。由排除法可知，应选 D.1nap(10) 【答案】 D【详解】方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知 ，由 ，在 邻域，可确定隐函数 ，0(,)xy(,)0xy0,)xy（ ()yx满足 ， 。d是 在条件 下的一个极值点 是 0,)（ (,)f(,) 0x的极值点。它的必要条件是(zfxy0 000,x xfyfxyddx 0000(,)(,)(,)xyxyff若 ，则 ，或 ，因此不选 ， .(,)f 0(,)yf , A(B若 ，则 (否则
13、). 因此选0,xfy0,yfx0xdz()D方法 2：用拉格朗日乘子法. 引入函数 ，有,)(,),Fyfyx (,)(,)0(12),xxyyFf因为 ，所以 ，代入(1)得0(,)yx0(,)yfx000(,)(,)(,)yxxff若 ，则 ，选0,xf0(,)yf()D(11)【答案】A【详解】方法 1：若 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为 的数 使得 2,s 012s,k0skk为了得到 的形式，用 左乘等式两边, 得12,sA A0skk于是存在不全为 的数 使得成立，所以 线性相关.012s, 12,sA方法 ：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:21. 线性相关 ；2. . 12,s 12(,)sr ()rB矩阵 , 设 ， 则由()s sAA 12s,得 . 所以答案应该为( ).()rB1212,(,)ssrr A(12) 【答案】【详解
