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1、02008 年 线 性 代 数 必 考 的 知 识 点1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；（偷换行，以调整系数。见线代讲义例 1.26）ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；（副对角阵行列式的符号问题）1D()21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；
2、90 2(1)2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；（什么意思？）D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:Ps：对于求行列式，必须有零阵，但不需要是方阵时，才能分块求。、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；行列式=特征值的积6. 对于任意 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknEASkS7. 证
3、明 的方法：0A、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；1是正定矩阵 ；TA的行（列）向量组是 的一组基；nR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 指数运算（1）指数的指数：*111*()()()TTA A （2）矩阵积的指数：A、B 先换序，再将指数运算分配进去*11T
4、ABB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论， （欠补充完整）其中均 、 可逆：若 ，则：12sAA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11AOB、 ；（副对角分块）1、 ；（拉普拉斯）11ACACBOB、 ；（拉普拉斯）111O3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mnA rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若 ；（等价用错符号了）（秩相同，就必然等价
5、啊？）B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若 ，则 可逆，且 ；（初等变换法求逆矩阵）(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1 1(,),)cABE、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xAb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；2、 ，左
6、乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki 1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijEijk1(0)k5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB、 ；（）)rr、 ；（）()min(,B、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）ns0A、 的列
7、向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；B()()rBrn特别地，r(AB)=0 时，r(A)+r(B)=n三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；0acb二项展开式： ；01 10() nnnmnnmnCabCababCab 注：、 展开后有 项；ab、 0(1)()!123() :m nnmCn、组合的性质： ；11 0 2 nnmmrnrrn nCCCC、利用特征值和相似对角化：6. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrArAn
8、3、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AAXX、 、*1A1*n7. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为 0；（两句话）()rn1n、 ， 中有 阶子式全部为 0；、 ， 中有 阶子式不为 0；()A8. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；nAn9. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；10. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；12
9、1212nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）11221mmnmaaxbAx Amnn、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxa 12nb、 （线性表出）12nxax、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；mn12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TT 2TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性方
10、程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例 14)mnAlB 0AxB10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 ；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：4若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（
11、向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 ；rs rs向量组 能由向量组 线性表示，则 ； ()rA向量组 能由向量组 线性表示A有解；XB(),)r向量组 能由向量组 等价 ()(,)rBr8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；12,lP 12lAP、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解rA0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆） ；cBQ、矩阵等价： （ 、 可逆） ；9. 对于矩阵 与 ：mnl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的
12、任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；A0AxAB、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；10. 若 ，则：msnBC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明 ；0x0Ax、 只有零解 只有零解；A、 有非零解 一定存在非零解；12. 设向量组 可由向量组 线性表示为： 12:,nrrb 12:,nssa（ ）12(,)(,)rbaK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）
13、KsB(r（必要性： ；充分性：反证法）(),rBrAK注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关； mnnmQmE()rAQ、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；PnnP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12,sr15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关； *xb12,r A*12
14、,5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义） ，性质：TE1T、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；A 1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1TA A5、若 、 正交阵，则 也是正交阵；ABA注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba;122,b: 1211,rrrr rbabab: :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ， （合同、相似的约束条件不同，相似的更严格） ；CT:6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTx的正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征
