《数字信号处理ppt资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理ppt资料（219页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题,2.1 引 言 我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系
2、统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。,p(t),t,T,理想抽样,(),DTFT, =+,r=1,P34 式（2.2.5）,P46 图（2.4.1）,P24 图（1.5.3）c),数字频率,归一化频率,Fs=1000Hz, 则100Hz对应0.2,Fs=2000Hz, 则100Hz对应0.1,FT为Fourier Transform的缩写。FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,（2.2.2）,X(ej)的傅里叶反
3、变换为,（2.2.3）,离散时间傅里叶变换,正变换为,DTFT,离散频率傅里叶变换,DFFT?,图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,图2.2.2 cosm 的波形,e-even o-odd r-real i-image,将上式两边n用n代替，并取共轭，得到： 对比上面两公式，因左边相等，因此得到：,（2.2.10）,（2.2.11）,上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：,（2.2.12）,将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：,即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,5 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n)
4、则 Y(ej)=X(ej)H(ej) （2.2.31） 证明,令k=nm，则,7 帕斯维尔（Parseval）定理,（2.2.35）,证明,表2.2.1 序列傅里叶变换的性质定理,t,DFTT,例2 设计一如图数字低通 滤波器求单位冲击响应,设fs=2000Hz,则截止频率fc=?,傅氏变换 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换,离散时间傅里叶变换DTFT,1.正变换:,2.反变换:,离散频率傅里叶变换DFFT,-,-,时域离散化,频域离散化,一个周期内抽样N个点,扩展到整个频域,P75 式3.1.1-2,P40 式2.3.1,P41 式2.3.3,DTFT,DFS,DFT,共轭/周期特
5、性,FFT,分析系统,周期,离散,理解方式1,理解方式2,采样间隔,T0,s,T0信号的周期,0信号的角频率,Ts采样间隔,时域,s频谱的周期,0采样间隔,频域,频率分辨率,0,1,.,N-1含义,0, , 2 , , , , (1) ,0, 2 , 2 2 , , 2 , , (N1) 2 ,0, , 2 , , , (1) ,0, 0 , 2 0 , 0 , , (1) 0,数字频率：,采样频率：,采样角频率：,信号角频率：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，
6、引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下: (2.3.1) 为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和，即,式中,(2.3.2),(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此 (2.3.3)式中，k和n均取整数。因为 ， l取整数,即 是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。,令 , 并将(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4) 式中， 也是以N为周期的周期序列, 称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier S
7、eries) 表示。,用,(2.3.5),将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下：,(2.3.6),(2.3.7),代替(2.3.1)式中的ak,得到,（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度为 。 基波分量的频率是2/N，幅度是 。一个周期序列可以用其DFS系数 表示它的频谱分布规律。 【例2.3.1】 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求DFS 。 解 按照（2.3.6）式,
8、有,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即, r取整数 因此 的FT为 (2.3.9) (2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边,观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为 ，因此得到下式： 证明了（2.3.9）式确实是 的FT，前面的暂时假定是正确的
9、。,图2.3.2 的FT,对于一般周期序列 ，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为 ，类似于复指数序列的FT，其FT为 因此 的FT如下式： ,式中，k=0, 1, 2, , N1。如果让k在区间变化，上式可简化成 （2.3.10） 式中 (2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同, 因而不会引起混淆。 表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。,表2.3.2 基本序列的傅里叶变换,表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下： 令 (2.3.11) (2.3.12) 对(2.3.12)式进行
10、FT，得到: ,对(2.3.11)式进行FT，得到： 【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。 解 将例2.3.1中得到的 代入（2.3.10）式中，得到： 其幅频特性如图2.3.3所示。,图2.3.3 例2.3.2图,对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。 【例2.3.3】 令 为有理数，求其FT。 解 将 用欧拉公式展开： 按照（2.3.9）式，其FT推导如下：,图2.3.4 cos0n的FT,2.4 时域
11、离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。 公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号 和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:,对上式进行傅里叶变换, 得到:,令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者写成： （2.4.2） 式中 (2.4.2)式也可以表示成 （2.4.3）,图2.4.1 模拟频率与
12、数字频率之间的定标关系,DTFT,FT,拉氏变换,能否 离散化?,拉氏变换,序列的Z变换,Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外,j,0,0,DTFT,= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴； =0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 单位圆内.,0,jImZ,ReZ,(2).与的关系（=T）,2.5 序列的Z变换 在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，
13、对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。 （2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3） 使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即,令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中
14、所示的斜线部分)。 当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。,图2.5.1 变换的收敛域,z=rej,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易得到傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：,X(z)存在的条件是|z1|1, 因此 X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。, 设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=
