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1、数学分析（三）试卷2及答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述二重积分的概念。2 叙述Gauss公式的内容。3 叙述Riemann引理。二 计算题（每小题10分，共50分）1求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。2求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。3计算三重积分。其中 。 4 利用含参变量积分的方法计算下列积分。5 计算 其中为上半椭球面定向取上侧.三 证明题（每小题10分，共20分）1若及 证明不等式2证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛.答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲线网分成个小区域（称为的一个分划），记为
2、的面积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式 的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的二重积分，记为 。2设是中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数，和在上具有连续偏导数。则成立等式 ，这里的定向为外侧。3设函数在可积且绝对可积，则成立 。二 计算题（每小题10分，共50分）1 求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。解 设 ，。它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为： 和 ， ， 。所以曲线在处的切线方程为：，即法平面方程为 ，即。2 求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。解 其体积，其中
3、。设。故 3 解 4 解： 首先，令，则，在积分中，再令，其中为任意正数，即得再对上式两端乘以，然后对从到积分，得注意到积分次序可换，即得由于 故5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为易得因此三 证明题（每小题10分，共20分）1证明 考虑函数在条件下的极值问题，设解方程组可得从而如果时，则结论显然成立.2证明 首先证在上一致收敛. 由于因而一致有界，而是的单调减少函数且 由于与无关，因此这个极限关于是一致的，于是由Dirichlet判别法知在上一致收敛. 再证在上非一致收敛. 对于正整数，取，这时只要取 则对于任意 总存在正整数满足 取，这时成立由Chauchy收敛原理知在上非一致收敛.
