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1、华中科技大学 硕士学位论文 径向基无单元法及其在MEMS电磁场数值分析中的应用 姓名：丁平 申请学位级别：硕士 专业：电机与电器 指导教师：邵可然 20061108 I 摘 要* 无单元法是近年来发展起来的求解偏微分方程的一种新型数值计算方法，它告别 了对单元的依赖。目前已出现了多种无单元方法，例如无单元伽辽金法、无单元配点 法、最小二乘配点无单元法、径向基函数无单元法等。从总体上来说这些方法又分为 两大类：依靠背景网格的非纯正无单元法和依靠节点分布的真正无单元法。伽辽金法 属于第一类，配点法属于第二类。 配点法是在加权残量法的基础上发展的。配点型无单元法无需网格剖分也无需 背景网格，是在一种
2、真正的无单元法，它不需要借助任何单元来计算积分。其基本 思想是在求解域分布一系列的节点，使得域内的各节点满足平衡方程，边界上的点 满足边界条件。在配点型无单元方法中，一般需要采用特殊的稳定方案，避免方程 病态。这样虽增加了精度，却增加了计算量。 径向基函数（Radial Basis Function, RBF）是一种特殊的函数。本文将其引入到 无单元法中，并对径向基函数配点型无单元方法进行了详细的论述。主要讲述了紧 支的和全域的径向基函数和常用的径向基函数配点法；针对用其求解带有 Neumman 边界条件的微分方程产生较大误差的情况，提出了 Hermit 型插值方案。 在径向基函数法中，MQ（
3、multiquadric）径向基函数法由于高精度、形式简洁、 求解过程及程序简单等，而更受人们关注。MQ 径向基函数只与空间点的分布有关， 而无需任何网格剖分程序，本文将其引入到计算电磁学中。文章的数值结果表明，此 方法相对于有限元法在效率上有很大的提高。 本文提出了改进型 MQ 径向基函数法，并将其用于求解三维电磁场的拉普拉斯 问题。该方法是通过在求解问题的边界区域附近分布与边界上相同的点，将这些点作 为边界点，而将求解区域内部的节点和真实边界上的节点作为域内节点。这种方法通 *国家自然科学基金项目（50477045） 高等学校博士学科点专项科研基金项目（20030487063） II 过增
4、加很少的计算节点，使得边界点解的精度得到很大的提高。我们通过计算三维电 磁场问题，得出改进型 MQ 径向基函数法相对于有限元法在效率和精度上有很大的 提高。 关键词关键词：无单元法，配点法，紧支函数，径向基函数，MQ 径向基函数， 改进型 MQ 配点法 III Abstract Meshless method developed recently is a new type of numerical methods. It was introduced for solving many PDEs. Meshless methods give up depending on unit. Ther
5、e are many kinds of meshless methods now, such as EFG, LSC, RBF. These methods are divided into two classes: those based on collocations and those based on weak forms. The first class is truly meshless method and does not require a mesh structure or a numerical integration procedure. EFG belongs to
6、those based on weak forms, PCM belongs to those based on collocations. Collocation-based Meshfree Method has been developed based on weighted residual approach. No background mesh for integration, this method is a truly meshless technique without mesh discretization. This type of methods uses a set
7、of nodes distributed in solving domain instead of traditional elements. The interior nodes satisfy the balance equation; the boundary points satisfy the boundary conditions. In order to avoid the ill-posed equation, we must use the special stabilization scheme. Numerical results indicate that this m
8、ethod is effective. Radial Basis Function(RBF) is a kind of special function. In this paper, we introduce Radial Basis Function into meshless method and study the RBF meshless method in detail. We propose the Hermit interpolation scheme to solve the PDEs which have Neumman boundary conditions. The m
9、ultiquadric radial basis function method (MQ RBF or, simply, MQ) is ranked the best based on its high accuracy, ease of implementation, good visual aspect, and low execution time and storage requirements in this class of RBF meshless methods. Numerical results indicate that this method is more effec
10、tive than FEM. In this paper, the principle of improved MQ is discussed, and 3D electromagnetic problems are solved. It is achieved by adding a set of nodes (which can lie inside or outside of the solving domain) adjacent to the boundary and, correspondingly, add and additional set of collocation eq
11、uations obtained via collocation of the PDE on the boundary 5. IV Numerical results show a considerable improvement in accuracy over the traditional MQ method and more effective and accurate than FEM. Keywords: meshless method, meshless point collocation method, compactly supported functions, radial
12、 basis function, Multiquadric radial basis function; Improved MQ collocation method 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研 究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保
13、留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 1 1 绪论 1.1 引言 自从1865 年Maxwell 建立了统一的电磁场理论,并得出了著名的Maxwell 方程 以来。经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段,围 绕电磁分布边值问题的求解国内外专
14、家学者做了大量的工作。在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究内容主要是解析法。在这个阶段，工程中的电磁学问题 都是采用解析的方法来进行处理，这种方法可以得到电磁学问题的解析解。但是由 于它的推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性，因此应用面十分狭窄，只能求解具有 规则边界、线性媒质的简单问题，对于任意边界的电磁学问题则无能为力或者需要 非常高的数学技巧。从上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,大 量的电磁场的数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于经典电磁理论而言， 计算电磁学的数值方法几乎不再受到工程中边界条件约束，能够解决各种各样的复 杂性问题。但各种数值计算方法
15、都有优缺点和局限性,一个复杂的问题往往难以依靠 一种单一方法解决,如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决 实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。 在计算电磁学的发展历史上，各种数值方法相继出现，例如：有限差分法、有 限元法、矩量法、格林函数法、变分法等等1 -6。在这些方法中应用最广的是： （1）有限差分法 有限差分法是在电磁场数值计算方法中应用最早的一种方法。有限差分法由于 概念清晰，方法简单、直观等特点在电磁场数值分析中得到了广泛的应用。其求解 的基本思想是利用网格剖分将待求解区域离散化为网格离散节点的集合，然后基于 差分原理的应用，一个离散点上函数的差
16、商计算近似代替该点的偏导数，这样，待 求解的偏微分方程定解问题可以转化为相应的差分方程组问题，解出各离散点上待 2 求函数值，即为所求定解问题的离散解，再用插值方法便可以得到整个场域上的近 似解。从上面可以看出，其所求的解是一种近似解由于其主要采用矩形网格划分， 这在处理特殊边界问题时，需要做特殊的处理，否则将产生很大误差。 （2）有限元法 有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是以变分法为基础建立起来的， 其核心在于剖分插值。它是将所研究的连续场分割为有限个单元进行求解，根据各 个单元的场量关系建立整个求解区域的场量关系，得到全域的数值解。该方法网格 剖分形式比较随意，可以适应复杂的场域边界几何形状以及媒质物理性质变异等问 题，这使得其成为应用最广泛的数值算法。 （3）矩量法 矩量法（The Method of Moments,简称 MOM）是将待求解方程（微分方程或积 分方程）转化为一个矩阵方程。由于其在处理复杂边界问题方面的优势，矩量法广 泛应用于天线、微波技术和电磁波散射等方面。 （
