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1、第八节 应 用 举 例,【知识梳理】 1.三角形中常用的面积公式 (1)S= ah(h表示边a上的高). (2)S= bcsinA= = . (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).,2.实际应用中的常用术语,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 面积公式中S= bcsin A= absin C= acsin B，其实质就 是面积公式S= ah= bh= ch(h为相应边上的高)的变形; 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0, ; 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点 之间的位置关系;,方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0, ). 其中正
2、确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.正确.如S= absin C= ah(h=bsin C)，h即为 边a上的高. 错误.俯角是视线与水平线所构成的角. 正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置 关系的. 正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为 0, ).,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 ( ) A北偏东10 B北偏西10 C南偏东80 D南偏西80 【解析】选D.由条件可知，AB40， 又BCD60，所以CB
3、D30，所以 DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.,3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线 上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别 为60，30，则A点离地面的高度AB等于( ) 【解析】选B.因为DACACBD603030， 所以ACCDa，在RtABC中，ABACsin 60 a.,4某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75 的斜坡，改造成倾斜角为30的斜坡，并保 持坡高不变，则坡底需加长( ) 【解析】选A.设坡底需加长x m， 由正弦定理得 解得x=100 .,5.(2014绍兴模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北
4、行驶，若甲船 是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东 _(填角度)的方向前进. 【解析】设两船在C处相遇，则由题意ABC 18060120，且 由正弦定理得 又0BAC60，所以BAC30. 答案：30,6.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60的 视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛的距离是 nmile. 【解析】画出示意图如图， 由题意可知，CAB=60，CBA=75, 所以C=45， 由正弦定理得 所以 答案：,考点1 测量距离问题 【典例1】(1)(2014宁波模拟)如图,为测量河对岸A,B两点间 的距离,在河岸选取相距40米的C
5、,D两点,测得BCA=60, ACD=30,CDB=45,BDA=60,则A,B间距离为 米.,(2)(2014泰安模拟)如图,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西 60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B 点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?,【解题视点】(1)观察AB所在的三角形,根据已知条件求出有关的边角再求解. (2)已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.,【规范解答】(1)由
6、已知得，BCD=30+60=90,又因为 BDC=45,CD=40米，所以BD=40 米，在ADC中， ADC=60+45=105, 所以CAD=180-105-30=45， 由正弦定理，得 在ADB中，由余弦定理，得AB2=AD2+DB22ADDBcosADB 所以AB= (米). 答案：,(2)由题意知AB5(3 )海里， 因为DAB=90-45=45，DBA=90-60=30， 所以ADB=180-(45+30)=105， 在ADB中，由正弦定理，得 所以 = = (海里)，,又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60， 所以在DBC中，由余弦定理，得 CD2=BD2+BC
7、2-2BDBCcosDBC 所以CD=30(海里)， 所以需要的时间t= =1(小时)， 即救援船到达D点需要1小时.,【互动探究】本例(2)中若不知救援船的速度,其他条件不变, 要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少? 【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由例题解析可求得 CD=30海里,由 得v45. 即救援船的最小速度为45海里/小时.,【易错警示】注意开方 本例第(1)题在利用余弦定理时,很容易忽略对最后的结果开方,从而导致结果错误,在应用余弦定理时一定要注意对最后的结果开方.,【规律方法】距离问题的类型及解法 (1)类型:测量距离问题分为三种类型:两点间不可达又不
8、可视、两点间可视但不可达、两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.,解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,【变式训练】(2014温州模拟)如图,某地 举行烟花燃放表演,观众席设置在地面上线 段OA,OB处,烟花燃放点在地
9、面C处,现测得 CBO=30,BOC=OAC=45,CO=50米,若点A,B离点C的距离相等,则观众席OA的长度等于 米.,【解析】设AC=BC=x，由正弦定理 则 即 所以x=50 . 又OAC=45,OC=50,AC=50 , 所以 即 所以AOC=90,所以OA=OC=50. 答案：50,【加固训练】 1.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在A,B之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ),【解析】选A.如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行到D 处,在BCD中,B
10、C=10-4x,BD=6x,CBD=120,两船相距S千米, 根据余弦定理可得, DC2=BD2+BC2-2BCBDcosCBD =(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos120, 即S2=28x2-20x+100 所以当 时,S2最小,从而S也最小,即航行 分钟时两船相距最近.故选A.,2.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为 海里/分钟.,【解析】由已知得ACB45，B60， 由正弦定理得 所以 所以海轮航行的速度为 (海里/
11、分钟). 答案：,考点2 测量高度、角度问题 【典例2】(1)(2014吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度为 m.,(2)在海岸A处,发现北偏东45方向,距A处( -1)n mile的B 处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A处2n mile的C 处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走 私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉 私船沿着什么方向能最快追上走私船?,【解题视点】(1)点A与点B,C,D不在
12、同一个平面内,且AB平面BCD,故本题的数学模型为三棱锥,根据已知条件和所求三角形的联系求解. (2)注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.,【规范解答】(1)如图,设电视塔AB高为xm, 则在RtABC中,由ACB=45,得BC=x. 在RtADB中,ADB=30, 所以BD= x. 在BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120, 即( x)2=x2+402-2x40cos120, 解得x=40,所以电视塔高为40m. 答案:40,(2)设缉私船用th在D处追上走私船,如图, 则有CD=10 t,B
13、D=10t, 在ABC中,因为AB= -1,AC=2,BAC=120, 所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC 所以BC= ,在ABC中,由正弦定理,得 所以 所以ABC=45,所以BC与正北方向垂直. 因为CBD=90+30=120, 在BCD中,由正弦定理,得 所以 所以BCD=30. 即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.,【规律方法】 1.求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画
14、两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.,2.测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 提醒:方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【变式训练】(2014大连模拟)如图,测量河对 岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内 的两个观测点C与D,测得BCD=15,BDC= 135,CD=30m,并在点C处测得塔顶A的仰角为30,则塔高
15、AB 为( ),【解析】选D.在BCD中，CBD180-15-13530， 由正弦定理，得 所以 在RtABC中，ABBCtanACB30 tan 3010 (m).,【加固训练】 1.地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( ) A.50米,100米 B.40米,90米 C.40米,50米 D.30米,40米,【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为,在O点望高塔仰角为b. 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为 , 即 根据倍角公式有,在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望 矮塔仰角为 即 根据诱导公式有 , 联立得H=90,h=40. 即两座塔的高度为40米,90米,故选B.,2.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向,相距12n mile的水面上
