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1、第三课 柯西不等式、 排序不等式与数学归纳法,【网络体系】,【核心速填】 1.二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:_ _.,若a,b,c,d都是实数,则,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,(2)柯西不等式的向量形式:_ _.当且仅当 是零向量,或存 在实数k,使 =k 时,等号成立.,设 是两个向量,则,| | |,| |,(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2R,那么 _,2.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则 _. 当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi (i=1,2,n)时,
2、等号成立.,(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,3.排序不等式 设a1a2an,b1b2bn为两组实数, c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+anb1_ a1b1+a2b2+anbn.,a1c1+a2c2+ancn,4.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当_时,命题成立. (2)假设当n=k(kN+,且kn0)时,命题成立.证明 _时,命题也成立.,n=n0,n=k+1,【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (
3、1)对假设设而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度.,1- .,类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:,【证明】1- 所以求证式等价于 .,由柯西不等式,有 (n+1)+(n+2)+2nn2, 于是 = = = .,1- .,又由柯西不等式,有 所以,【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+an2)(b12+ b22+bn2) (a1b1+a2b2+anbn)2(ai,biR,i=1, 2,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等
4、式的证明问题迎刃而解.,(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.,【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:,【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左 边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相 等,由整体性可构造向量m=( ), n=(1,1,1),利用|mn|m|n|可得证.,【证明】令m=( ),n=(1,1,1),则 mn= 而|m|= 又|n|= ,由|mn|m|n|,得 所以 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.,2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10. (1)求证: (
5、2)求 的最小值.,【解析】(1)根据柯西不等式,得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y) (5x+4y+3z)2, 因为5x+4y+3z=10, 所以,(2)根据基本不等式,得 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立. 根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100, 即x2+y2+z22,当且仅当 时,等号成立. 综上, 232=18.,类型二 利用排序不等式证明不等式 【典例2】设A,B,C表示ABC的三个内角的弧度 数,a,b,c表示其对边,求证:,【证明】方法一:不妨设ABC,则有abc 由排序原理:顺序和乱序和 所以aA+bB+cCa
6、B+bC+cA aA+bB+cCaC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC,上述三式相加得 3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c) 所以,方法二:不妨设ABC,则有abc, 由排序不等式 即aA+bB+cC (a+b+c), 所以,【延伸探究】在本例条件下,你能证明 吗?,【证明】能.由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有 0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B) +c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)- 2(aA+bB+cC). 得,【方法技巧】利用排序不等式
7、证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.,(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.,【变式训练】若a1a2an,而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn,证明: 当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时,等号成立.,【证明】不妨设a1a2an,b1b2bn. 则由排序原理得: a1b1+a2b2+anbna1b1+a2b2+anbn a1b1+a2b2+anbna1b2+a2b3+anb1 a1b1
8、+a2b2+anbna1b3+a2b4+an-1b1+anb2 ,a1b1+a2b2+anbna1bn+a2b1+anbn-1. 将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+anbn) (a1+a2+an)(b1+b2+bn) 上式两边除以n2,得 等号当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时成立.,类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值 【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求 u=x+2y+3z的最小值和最大值. (2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M= a1+ 的最小值.,【解析】(1)因为(x+2y+3z)2 =(x1+ y +
9、 z )2 x2+( y)2+( z)212+( )2+( )2 =(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.,当且仅当 ,即x=y=z时,等号成立. 所以-3 x+2y+3z3 , 即u的最小值为-3 ,最大值为3 .,(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1b2b3b4b5. 因此b11,b22,b33,b44,b55. 又1 由排序不等式,得,即M的最小值为,【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等
10、式处理往往比较容易.,(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.,【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_. 【解析】反序和最小,即最小值为25+34+43+52=44. 答案:44,2.已知|x|1,|y|1,试求x +y 的 最大值. 【解析】由柯西不等式得x +y 当且仅当xy= 即x2+y2=1时,等号成立,所以x +y 的最大值为1.,类型四 用数学归纳法证明恒等式 【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+(2n-1)2 -(2n)2=-n(2n+1)(nN+).,【
11、证明】(1)当n=1时, 左边=12-22=-3, 右边=-1(21+1)=-3,等式成立. (2)假设当n=k(k1)时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2 =-2k2-5k-3 =-(k+1)(2k+3) =-(k+1)2(k+1)+1,即当n=k+1时,等式成立. 由(1)(2)可知,对任何nN+,等式都成立.,【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法 用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n
12、=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).,【变式训练】1.用数学归纳法证明: (nN+). 【证明】(1)当n=1时,左边=1- ,右边= ,等式成立.,(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即 当n=k+1时,所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意nN+等式都成立.,2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+(2n)=an2+bn对一切nN+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.,【解析】取n=1和
13、2, 即2+4+6+(2n)=n2+n. 以下用数学归纳法证明: (1)当n=1时,已证.,(2)假设当n=k(k1且kN+)时等式成立, 即2+4+6+(2k)=k2+k, 那么,当n=k+1时有2+4+6+(2k)+(2k+2) =k2+k+(2k+2) =(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当n=k+1时等式成立. 根据(1)(2)知,存在 使得对任意nN+, 等式都成立.,类型五 利用数学归纳法证明不等式 【典例5】设a,b为正实数,nN+.求证:,【证明】(1)当n=1时, 显然成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,不等式成立, 即 要证明n=k+1时
14、,不等式成立,即证明:,在 的两边同时乘以 得 要证明 只需证明 因为,2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk) 2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0 ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0. 又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0), 所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当n=k+1时,不等式成立. 综合(1)(2)可知,对任何nN+,不等式恒成立.,【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键 应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放等手段,从p(k+1)中分离出p(k),再进行局部调整,也可考虑寻求二者的结合点,以便顺利过渡,利用归纳假设,经过适当放缩、恒等变形,得到结论需要的形式.,【变式训练】求证: (nN+). 【证明】(1)当n=1时, ,不等式成立. (2)假设n=k(k1,kN+)时,不等式成立, 即,当n=k+1时, 因此,欲证明n=k+1时,原不等式成立, 只需证明 成立. 即证明,可以转化为证明
