《高中数学 3.2.3用空间向量求空间角课件 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.2.3用空间向量求空间角课件 新人教a版选修2-1（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3立体几何中的向量方法 空间“角”问题,空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角,复习回顾,直线的方向向量 平面的法向量 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 则(1)ab .,a1b1a2b2a3b3,设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为n1、n2. 则l1l2或l1与l2重合 . l1l2 . 或与重合 . . l或l . l .,复习回顾,ab,a tb,ab,a b 0,n1n2,n1tn2,n1t a,n1 a,n1n2,n1 n2 0,n1 a,n1 a 0,引例：,求二面角M-BC-D的平面角的正切值； 求CN与平面ABCD所成角的正切
2、值； 求CN与BD所成角的余弦值； 求平面SBC与SDC所成角的正弦值,范围：,一、线线角：,异面直线所成的锐角或直角,思考：空间向量的夹角与 异面直线的夹角有什么关系？,结论：, 向量法,A,D,C,B,D1,C1,B1,A1,E1,F1,方法小结, 传统法：平移,例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？,所以 与 所成角的余弦值为,解：如图所示，建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：,所以：,练习：,悟一法,利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹
3、角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角,直线与平面所成角的范围：,结论：,二、线面角：,直线和直线在平面内的射影所成的角， 叫做这条直线和这个平面所成的角.,思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？,A,O,B,例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角,O,向量法, 传统法,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,悟一法,利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时
4、，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90.,二面角的平面角必须满足：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,三、面面角：,三、面面角：,向量法,关键：观察二面角的范围,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例3.已知正方体 的边长为2，O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC; （2）求二面角 的余弦值.,由图可知二面角为锐角,悟一法 利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量； (2)求两个法向量夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；二面角
5、的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现,练 习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： 异面直线SA和OB所成的角的余弦值， OS与面SAB所成角的正弦值 ， 二面角BASO的余弦值。,则A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,令x=1，则y=1，z=2；,从而,（2）设面SAB的法向量,显然有,.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）,又OC面AOS，, 是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角的大小等于,课堂小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,
