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1、东南大学 硕士学位论文 强耦合捕食模型的正平衡解 姓名：陈滨 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：王明新 20030101 东南大学学位论文 X6 44 4 5 3 独创性声明及使用授权的说明 ，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下连厅i 0 研毫T ： 毫= 蔓致辞口j 研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方”论支。下皂耋姜j 电，1 、巴 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育虮构目0 学位或证书 ：H ； 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所敞的任何贡献均己往i 乏趸申f 二i 眄 确的说明并表示了谢意， =
2、 、关于学位论文使用授权的说明 笺名7 刍良均巩兰旦堡! 冉 J 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所连交学 _ 羔i 兰文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文、友人电子：噎 的内容和纸质论文的内容相一致，除在保密期内的保密i I 竺文姓t ：! 沦支破查 焉苫 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布f 包括刊登) 授权东雨六 学研究生院办理 签名：75 陆捌币虢迎啤嗍幽 摘要 本文讨论了一类非线性交错扩散L o t k a - V o l t e r r a 捕食系统带有齐次D i r i c h l e t 边界条 件的
3、正平衡态，即下面的强耦合椭圆型方程组的正解： f 【( 1 + o 口) u = 。u ( 1 一u c u ) ， 。Q ， _ ( 1 + 焘) ” _ 6 m + m u 刊，筇 【钆：“ ：0 ， z a Q 经过适当的变换，将此强耦合椭圆型方程组等价为弱耦合椭圆型方程组通过对等价方 程组的讨论，利用锥上的不动点指数理论，得到了正解存在的条件特别地，对于一维 的情形，我们得到了正解的唯一性借助于C r a n d a l l R a b i n o w i t z 分支定理，讨论了关于 参数o ，b 的局部分支，以及对应的弱耦合椭圆型方程组的分支解的渐近稳定性 关键字：L o t k
4、a V o l t e r r a 捕食系统，非线性交错扩散，平衡解，分支，共存，稳定性 A b s t r a c t T h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fa n o n l i n e a re l l i p t i c s y s t e mu n d e rt h eh o m o g e n e o u sD i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s f 一
5、 ( 1 + Q ”) 川= 。u ( 1 一一c “ ) ， z Q ， - ( + 赤) ” 刊螂+ m “刊，z 【u=u=0，XaQ T h es y s t e ma r i s e si nt h es t u d yo ft h eL o t k a - V o l t e r r ap r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hn o n l i n - - e a rc r o s s - d i f f u s i o n I nv i r t u eo ft h ee q u i v a l e n ts y s t e m ，m a
6、k i n gu s eo ft h et h e o r yo ft h e f i x e dp o i n ti n d e x ，w ec a nd e r i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es t e a d y s t a t e s ，n a m e l y ，c o e x i s t e n c es t a t e s M o r e o v e r ，u n d e rs o m ef u r t h e ra s s u m p
7、t i o n s ，w ec a ng e t an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o e x i s t e n c e I np a r t i c u l a r ，i nt h es p e c i a lo n e d i m e n s i o n a lc a s e ，t h eu n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n si sd i s c u s s e d A p p l y i n gt h ef a
8、 m o u s C r a n d a l l - R a b i n o w i t zb i f u r c a t i o nt h e o r e m ，w ei n v e s t i g a t el o c a lb i f u r c a t i o nw i t hr e s p e c tt o t h ep a r a m e t e r saa n db ，a n dd i s c u s st h eb i f u r c a t i o nf r o mt h es e m i t r i v i a ls o l u t i o n s F o r t h ee
9、 q u i v a l e n ts y s t e m ，t h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n si sa l s oc o n s i d e r e d K e y w o r d s ：L o t k a - V o l t e r r ap r e y p r e d a t o rm o d e l ，n o n l i n e a rc r O S S d i f f u s i o n ，s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s ，b i
10、f u r c a t i o n ，c o e x i s t e n c e ，s t a b i l i t y 2 1 引言 生态数学模型的研究是一个十分热门的课题，引起了众多生物学家和数学家的极大关注 本文讨论带非线性交错扩散的L o t k a + V o l t e r r a 捕食模型 “c 一 ( d 十a u ) u = 。u ( 1 一普) 一”， 。移Q ( o ，o 。) 、 旷 ( d 2 + 赤) u = 6 ”( - 一薏) + ，i 枷( 0 删，。) u = “ = 0 ，f ：士、a Q ( 0 ，。) ， u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0
11、 ，0 ，u ( 。，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ，。Q 的正平衡解，其中Q 为R “中的有界区域且边界a Q 充分光滑，Q ，7 ，卢，1 ，k 2 ，a ，b ，c ，m 均 为正常数u ( 茹，t ) ，v ( x ，# ) 分别食物( p r e y ) 和猎物( p r e d a t o r ) 的种群分布密度，k hk 2 分 别为两种群环境的最大容纳量( c a r r y i n gc a p a c i t y ) ，a ，b 分别为食物和猎物的出生率，t i t 称为响应函数，表示单个猎物在单位时间内( 比如说一天) 捕捉到的食物的个数m c 是转化率，即猎
12、物得到食物后生育幼儿的能力如果把扩散项写成散度形式： d i v ( d l 十a v ) V u + a u V v 就可以看出d 1 ，d 2 是简单扩散系数 扩散系数，并且 a i v 卜祷杀V 让+ ( ”赤) V ”卜 O ：V 和口- 2 栅_ 是自扩散系数，o u 和一菥知是交错 L ，z = 一 ( d 1 + a v ) V u + a u V v ， 一 _ 赢V u + ( d 2 + 赤) V 吣 可以分别看成u 和“ 沿m 方向的扩散流量交错扩散系数。u 0 表示食物“ t t 逃避猎 物，向着猎物密度小的方向迁移，交错扩散系数一程骞舞s0 表示猎物追赶食物，向着食
13、物密度大的方向迁移更详细的生物学解释可以参见文献【2 0 ，2 3 模型( 1 1 ) 的一个重 要研究内容是共存问题，既正平衡解的存在性 本文讨论( 1 1 ) 的平衡解经尺度变换，可以把( 1 1 ) 的非负平衡解问题转化为下面的 强耦合椭圆型方程组 一 ( 1 + Q u ) 词= a u ( t u c ”) ， 一 ( ，+ 焘) ”】_ b u ( ，+ 价u - v ) = “ = 0 u ( z ) 0 ，v ( z ) 0 ， 4 P q g 弛旺 工 o Z 嚣 对于问题( P ) 的解( “，”) ，若在Q 中u 0 ，u 0 ，就称它是( P ) 的正解或者( 11 )
14、 正平 衡解相对应的( 0 ，0 ) 称为问题( P ) 的平凡解如果( “，口) 中只有一个分量为0 ，我 们称之为半平凡解本文主要关心问题( P ) 的正解 当o = 7 = 0 时，( P ) 即为齐次D i r i c h l e t 边界条件下，二维L o t k a - V o l t e r r a 捕食经 典模型的平衡态问题许多文献 3 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 4 ，2 6 对此模型的共存问题都 作了深入研究P a o 【2 4 运用上下解及迭代的方法，得到了多种参数情况下的存在性结 果；B l a t B r o w n 【3 ) 利用解
15、耦方法和整体分支理论，证明了正解的存在性；D a n c e r ，L 6 p e z G 6 m e z ，O r t e g a 1 1 在径向对称性质情况下利用算子谱分析的方法，得到了正解的存在唯 一性；J L 6 p e z G 6 m e z ，R P a r d o 【1 8 对参数空间( a ，b ) 经过精细的分析，得到最优的共 存锥，对于难情况他们还得到了正解的存在唯一性( 【l9 ) ；L i 【1 5 】和W a n g 2 6 对反应 项推广到较一般的函数形式，得到某种条件下共存的充分必要条件；文献 2 ，4 ，1 2 ，1 3 将 方程组( P ) 中的c ，m 分别
16、由赤，i 睾毛( d 0 ) 代替，研究了一类具有饱和项( s a t u r a t i o n ) 的捕食方程组；文献( 2 2 】考虑了具有非单调转化系数的捕食方程组，此时问题变的更为 复杂 N a l l l m s h i m a 和Y a m a h a 2 1 】研究了扩散项分别为- a 0 + Q “ ) u ，一【( 1 + 卢u ) u 形式 的L o t k a - V o l t e r r a 捕食模型和L o t k a - V o l t e r r a 竞争模型实际上，他们研究具有此类形式 的扩散项的捕食模型是不符合生物学意义的 带齐次N e u m a n n 边界条件的L o t k a -
