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1、2017-2018学年第一学期高二数学期末考试试卷试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）1、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1已知命题p：xR，sinx1，则(C)Ap：xR，sinx1 Bp：xR，sinx1Cp：xR，sinx1 Dp：xR，sinx12等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于( B )A160B180C200D2203ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c若a3，b4，C60，则c的值等于( C )A5B13CD4若双曲线1的一条渐近线经过点(
2、3，4)，则此双曲线的离心率为( D)A. B. C. D. 5在ABC中，能使sinA成立的充分不必要条件是( C)AA BA CA DA6ABC中，如果，那么ABC是( B )A直角三角形B等边三角形 C等腰直角三角形D钝角三角形 7. 如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为(B ) A12B11 C31 D218如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线A B1夹角的余弦值为(A)A. B. C. D. 9当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是( D )A
3、(，2B2，)C3，)D(，310若不等式组，所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是( A )ABCD 11若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是(A )Aa4 Ba4Ca12 Da1212定义域为R的偶函数f(x)满足：对xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2(x3)2，若函数yf(x)loga(x1)在(0，)上至少有三个零点，则a的取值范围为 ( B )A. B. C. D. 解析由于定义为R的偶函数f(x)满足：对xR，有f(x2)f(x)f(1)，得f(12)f(1)f(1)0，即f(1)0，故f(x2)f(
4、x)，可知f(x)的周期T2，图象以x2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，yloga(x1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(21)f(2)2且0a1，解得a。第卷（选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13已知某抛物线的准线方程为y1，则该抛物线的标准方程为_。x24y14.若a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_。15过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线的斜率等于_ 16已知函数f(x)x的图象过点(4,2)，令 an，nN*。记数列an的前n项
5、和为Sn，则S2 016_。1三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17(12分)已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinAsinC。(1)若ab，求cosB；(2)设B90，且a，求ABC的面积。解(1)由sin2B2sinAsinC及正弦定理，得b22ac，ab，a2c。由余弦定理，得cosB。(2)由(1)得b22ac。B90，a，a2c22ac，ac，SABCac1。18设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必
6、要不充分条件，求实数a的取值范围。解(1)由x24ax3a20，得：(x3a)(xa)0，当a1时，解得1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3。由解得：2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3。若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3。(2)p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设集合Ax|p(x)；集合Bx|q(x)，则集合B是集合A的真子集，又B(2,3，当a0时，A(a,3a)；a0时，A(3a，a)。所以当a0时，有解得1a2，当a0时，显然AB，不合题意，19(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x2相切。(1)求动圆圆心P的轨迹
7、M的方程；(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。解(1)设动圆圆心P(x，y)。因为动圆经过点F(2,0)，并且与直线x2相切，所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x2的距离相等，故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x2，设轨迹方程为y22px(p0)，则2，所以轨迹M的方程为y28x。(2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率ktan 1351，于是其方程为y(x2)。由消去y得x212x40。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x212，于是|AB|x1x2p12416。20(12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面A
8、BC，ABC是直角三角形，且PAABAC。又平面QBC垂直于底面ABC。(1)求证：PA平面QBC；(2)若PQ平面QBC，求锐二面角QPBA的余弦值。解(1)证明：过点Q作QDBC交BC于点D，因为平面QBC平面ABC。所以QD平面ABC。又PA平面ABC，所以QDPA。而QD平面QBC，PA平面QBC，所以PA平面QBC。(2)因为PQ平面QBC，所以PQBPQC90。又PBPC，PQPQ，所以PQBPQC，所以BQCQ。所以点D是BC的中点，连接AD，则ADBC，因此AD平面QBC，故四边形PADQ是矩形。分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设
9、PA2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。设平面QPB的法向量为n(x，y，z)，因为(a，a,0)，(0,2a，2a)，所以取n(1，1，1)。又平面PAB的一个法向量为m(1,0,0)，设锐二面角QPBA的大小为，则cos|cosm，n|，即锐二面角QPBA的余弦值等于。21(本小题满分12分)若的前n项和为，点均在函数y的图像上。（）求数列的通项公式;=3n-2（），是数列的前n项和，(1) 点均在函数y的图像上,=, 故 ,从而当 -=3n-2,即=3n-2, 又当n=1时,满足上式=3n-2 (2) ,=3n-2,=22(本小题满分12分)已知椭圆x22
10、y2a2(a0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线yk(x1)与椭圆C交于A，B两点，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得对任意的kR，为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解(1)设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则b2，由c2a2b2，得c2a2，由b2c4解得a28，b24，则椭圆方程为1。(2)由得(2k21)x24k2x2k280，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，则(x1m，y1)(x2m，y2)x1x2m(x1x2)m2k2(x11)(x21)(k21)x1x2(mk2)(x1x2)k2m2(k21)(mk2)k2m2m2，当54m16，即m时，为定值，故存在点M，使得为定值。
