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1、由莲山课件提供http:/ 资源全部免费绵阳市高中2014级第三次诊断性考试数学（理工类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则 ( )A B. C D （0,1）2. 已知是虚数单位，则 ( )A1 B C2 D3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是( )A B C. D4. 等比数列的各项均为正数，且，则 ( )A B C. 20 D. 405. 已知正方形的边长为6，在边上且，
2、为的中点，则 ( )A-6 B12 C.6 D-126. 在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( )A16 B8 C. D7. 已知函数为奇函数，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( )A2 B -2 C. D8.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A50 B75 C.25.5 D37.59. 已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )A B1 C. D10.已知是双曲线：的右焦点，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一
3、点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )A3 B4 C.5 D611. 三棱锥中，互相垂直，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A B C. D12. 已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数满足，则的最小值是 14.过定点的直线：与圆：相切于点，则 15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为 （用数字作答）16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，成等比数列，且，则的值
4、是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，分别是内角，的对边，且.（）求角的大小；（）若，且，求的面积.18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.（）现对该市
5、市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计16040200（）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望.（参考数据：独立性检验界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，）19. 已知矩形和菱形所在平面互相
6、垂直，如图，其中，点是线段的中点.（）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；（）求二面角的正弦值.20.已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（）求曲线的方程；（）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，求的值.21. 函数，.（）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；（）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的
7、正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（）时，解不等式；（）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.绵阳市高2014级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB二、填空题13. 2 14. 4 15.120 16. 9三、解答题17.解：（） 把整理得，,由余弦定理有,.（）中，即，故，由已知可得,整理得.若，则，于是由，可得，此时的面积为.若，则，由正弦定理可知，代入整理
8、可得，解得，进而，此时的面积.综上所述，的面为.18.解：（）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（）由（）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，,，的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望.19.解：（）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.证明：连接，是的中点，是的中点，又平面，平面，直线平面.，.（）由（）知，又面面，面面，面，所以面.故
9、，.以为空间原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，为正三角形，设平面的一个法向量，则由，可得令，则.设平面的一个法向量，则由，可得令，则.则，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值为.20.解：（）由题意知，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，曲线的方程为：.（）由题意知，若直线恰好过原点，则，则，则，.若直线不过原点，设直线：，.则，由，得，从而；由，得，从而；故.联立方程组得：整理得，.综上所述，.21.（）证明：由题意知，于是令，在上单调递减.又，所以存在，使得，综上存在唯一零点.解：当，于是，在单调递增；当，于是，在单调递减；故，又，故.（）解：等价于.，令，则，令，则，即在上单调递增.又，存在，使得.当，在单调递增；当，在单调递减.，且当时，又，故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.22.解：（）将参数方程化为普通方程为，即，的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（）将代入：整理得，解得，即.曲线是圆心在原点，半径为1的圆，射线与相交，即，即.故.23.解：（）当时，由解得，综合得，当时，显然不成立，当时，由解得，综合得，所以的解集是.（），根据题意，解得，或.由莲山课件提供http:/ 资源全部免费
