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1、突出数学思想方法的概念教学变量与函数教学设计与反思 王 冰（辽宁省大连市教育学院初中教师教育中心） 张一颖（辽宁省大连市第九中学）教学设计一、内容和内容解析内容变量与函数（人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十四章第一节第一课时）。内容解析函数是近代数学最基本的概念之一，在数学发展过程中起着十分重要的作用，许多数学分支（如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数等）都是以函数为中心展开研究的。在中学数学中，函数起着主导作用，处于核心地位。作为初中数学四大学习领域之一的数与代数，其“四大主干”数、式、方程（不等式）都可以用函数来 “统帅”（另一个主干是函数）：数集的发
2、展是为函数的定义域和值域研究作准备的；“式”是函数关系的重要表达形式，“式”也可以看作是关于式中某个（或某些）字母的函数；方程或不等式的解集则可以理解为使左右两个函数值相等或不等的公共定义域的子集。高中数学的许多内容都与函数密切相关，譬如，数列是以自然数集或其子集为定义域的函数；微积分初步研究内容主要是初等连续函数的一些性质；解析几何研究的曲线与方程其实是一类隐函数。初中阶段的函数概念是从运动变化和联系对应的角度加以定义的，即函数概念的“变量说”（高中阶段为“对应说”、大学阶段为“关系说”），这个定义对一个变化过程中的两个变量之间的关系进行了描述，因此，首先应明确什么是变量，什么是常量。在此基
3、础上，揭示函数概念的内涵：在同一变化过程中的两个变量之间存在这样的关系一个变量的变化会引起另一个变量也随之变化，而且这个变化之间存在单值对应的关系。“变量、常量”蕴含着分类的思想，“函数” 蕴含着变化的思想和对应的思想。教学重点函数的概念。二、目标和目标解析目标（1）了解变量、常量的概念；（2）了解函数的概念。目标解析（1）通过简单实例，说出变量、常量的意义；（2）在具体问题情境中，能识别变量与常量，体会分类思想；（3）经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想；（4）能结合具体实例判断两个变量之间是否存在函数关系。三、教学问题诊断分
4、析函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，所以函数概念一直是中学数学教学的难点。尤其是对初中生来说，第一次接触函数概念时会感到十分困难。一方面，函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中复杂的层次主要包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”； （4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。另一方面，函数概念难以形成的原因是学生的认知准备不足。在学
5、习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维经历一个飞跃的过程，这个过程需要达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还处于不很成熟的时期，这个矛盾是函数概念学习中一切认知障碍的根源。教学难点函数概念的抽象与概括。四、教学过程设计1创设情境，导入新课引言：我们生活在一个充满变化的世界里。以大家的成长经历为例，从小学到初中，我们年龄增长了、身体长高了、体重增加了、知识增多了、。同学们，你们还能举出在一个变化过程中不断变化的量的例子吗？（学生发言
6、。）师：看来，在我们日常生活中到处存在着变化过程中的变化的量，因此，要想了解客观世界，就离不开研究这些量。下面，我们首先来学习与此相关的知识。【设计意图】通过丰富的实例，让学生感受到生活中处处存在变量，体会学习变量的必要性。2探索新知，尝试发现（教师依次呈现下列问题。）问题1 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请填下面的表格，指出题中有哪些量，并用含t的式子表示st/时12345s/千米问题2 某地在24小时内的气温变化图如下，图中有哪些量？问题3 在一根弹簧的下端悬挂重物，弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为kg，受力后的弹簧
7、长度为cm。在弹性限度内，怎样用含的式子表示？请指出题中有哪些量。【设计意图】通过三个简单而熟悉的例子，引导学生在分化和类化各题的特征中发现这样的事实：在一个变化过程中，存在数值发生变化的量和数值始终不变的量。进而为抽象、概括出变量和常量作铺垫；另外，三个问题中变量之间的关系分别用表格、图象和解析式的方式呈现，为后续学习函数的三种表达形式埋下伏笔。说明：部分学生在回答问题3时可能会出现认知障碍，教师可以借助多媒体启发学生由特殊到一般寻找规律。对于学生回答不完整、表述不准确的地方，教师及时予以补充和纠正。问题4 针对上述三个问题，请同学们为这些量进行分类，并指出你的分类标准。【设计意图】在反复观
8、察、反复比较、反复分析中，抽象、概括出变量和常量的本质属性，体会分类思想。说明：在学生分类并指出分类的标准后，教师引导学生概括共同属性，得出变量和常量的定义。问题5 在前面研究的三个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？请你再列举一些日常生活中的变化过程的实例，并指出其中的变量和常量。【设计意图】让学生“再认识”前面研究的问题，并联系生活列举实例，进一步体会变量和常量的意义，感受数学的应用价值。 3反思提炼，归纳定义问题6 问题1、问题2和问题3中都分别有两个变量，那么，在同一个问题中的两个变量之间有没有联系呢？若有联系，又有怎样的联系呢？【设计意图】通过对三个具体问题中两个变量之间联系的研究，
9、让学生在观察、比较、抽象、概括等数学活动过程中，经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的思想。说明：学生在独立思考后进行小组交流，此时，教师也参与学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，并适时点拨。然后小组汇报讨论结果，全班学生一起交流，并抽象、概括三个问题中变量与变量之间关系的共同属性，即（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”； （4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。教师用规范的数学语言表述函数的概念，并介绍与函数有关的概念。在此过程中，教师要引导学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题
10、中的两个变量之间的关系，从中发现其共同属性，概括出两个变量究竟是“怎样联系”的。并重点强调几个关键字“每”、“确定”、“唯一”、“对应”的含义，同时举出反例进行辨析。例如，“每”字包含两层意思：其一是“任意”，即在一个变化过程中（即在定义域内）“任意”给出x（即自变量）一个值，y都有唯一确定的值（即函数值）与其对应；其二是“所有”，即“取尽”变化过程中（即在定义域内）的“所有”的值，y都有与其相对应的唯一确定的值（即函数值）。在解释“每”的含义时，要结合三个具体问题尽可能多地取x（即自变量）的值，使学生真正领会其内涵。同时，举出反例，深化对函数概念的认识。如举出反例：若变量x为实数，在将x取倒
11、数（即y为x的倒数）的过程中，由于0的倒数没有意义，所以当x取0时，没有相应的y与之对应，此时y不是x的函数。问题7 在前面研究的几个问题中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？你能再列举一些函数的例子吗？请指出其中的自变量及自变量的函数。【设计意图】通过“具体抽象具体”的过程，进一步加深对函数概念的认识，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。4练习运用，反馈纠正练习1 下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度123465O123h/米s/米（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？（2）根据图象填表：s/米0123456h/米（3）当距离s取
12、0米至6米之间的一个确定的值时，相应的高度h确定吗？（4）高度h是距离s的函数吗？练习2 下列式子中，y是x的函数吗？为什么？（1）； （2）； （3） （x0）；（4）； （5）练习3 下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？xyOxyO(1) (2) 【设计意图】遵循学生的认知规律，多角度、多层次地设置习题，提高学生对概念核心的理解程度。练习1通过再现函数概念的形成过程，进一步巩固变量与函数的概念，体会变化与对应的思想。练习2、练习3通过变式练习，进一步明确概念的内涵和外延，突出函数概念的本质属性。5交流悟理，归纳小结（1）通过本节课的学习：对自己说，你有哪些收获？对同学说，你有哪些温馨
13、提示？对老师说，你有哪些困惑？【设计意图】创设反思情境，搭建交流平台，体现人文关怀。说明：学生从不同的角度、不同的侧面畅谈自己的感受。在反思和交流之中，引发深层次的思考，促进思维品质的优化。（2）布置作业。举出3个日常生活中的函数的例子，并指出其中的自变量及自变量的函数；教材99页练习题，107页第6题。五、目标检测设计（1）写出下列各题中的关系式，并指出其中的常量与变量：圆的周长C与半径r的关系式；n边形的内角和S与边数n的关系式；火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式（2）学校食堂现库存粮食21000千克，平均每天用粮食200千克5天后库存粮食多少千
14、克？若食用的天数为x，库存粮食为y(千克)，试用含x的式子表示y；y是x的函数吗？为什么？【设计意图】对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况。教学反思数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。日本数学教育家米山国藏在数学的精神、思想和方法一文中曾写道：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方
15、法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，在概念教学中，我们不仅要在揭示概念的内涵上下功夫，而且还应该追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行概念教学。否则，如果仅仅将数学概念作为一般知识，而忽视数学概念本身所蕴含的思想方法对提高学生数学素质的作用，那么数学教学的价值必将大打折扣。在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，它刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。当学生面对问题1中s=60t的时候，虽然对于每个给定的t的值，他
