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1、第三章 晶格振动与晶体的光学性质,3.1 一维单原子链的振动 一、运动方程及其解,考虑一由同种原子组成的一维单原子链的振动。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n个原子偏离其平衡位置,的位移为n，如只考虑最近邻原子间的弹性相互作用，有,其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原子的运动方程为,试解, 格波方程,其中q为波数，na相当于将原点取在第0个原子的平衡位置时第n个原子的平衡位置，和A为常数。,解得, 色散关系,二、格波的简约性质、简约区, 简约区,在简约区内，与q一一对应，称为q的主值范围。,格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动， 不同原子间有振动位相
2、差，这种振动以波的形式在 整个晶体中传播，称为格波。,从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中x是可以连续取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），这是一系列周期排列的点。由此可知，一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变2的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。,1=4a ，即q1=2/ 1 = /2a； 2=4a/5，即q2=2/ 2 = 5/2a q2- q2=2/a 由图可以看出，由q1和q2所确定的各原子的相对位置是完全相同的，即这两个波数描述同一晶格振动状态。,三、周期性边界
3、条件（BornKarman边界条件）,设晶体中原子总数为N，晶体链长为Na，所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：,h =整数,这表明，引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。 在q轴上，相邻两个q的取值相距 ， 即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为,所以，q的分布密度为：,LNa 为晶体链的长度。,简约区中波数q的取值总数(q) 2/a (Na/2)2/a N晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N1=晶体链的自由度数。,四、格波的简谐性、声子概念,这是n(t)在q空间中的Fourier展开式。将上式代入系统总机械能的表达式中，再利用
4、线性变换系数的正交条件：,即可将系统的总机械能化为：,运动方程：,经变换后，Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。 一个波数为q的格波相当于一个频率为(q)的简谐振子，我们将晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的正则振动称为一种振动模式。对于由N个原子组成的一维单原子链，共有N种格波，即有N个振动模式，就相当于有N个独立的简谐振子。 根据量子力学理论，简谐振子的能量是量子化的，第j个振动模式的简谐振子的能量本征值为：,声子的概念： 声子是晶格振动的能量量子。 声子具有能量 ，也具有准动量 ，它的行为类似 于电
5、子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是 有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实 的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的一维单原子链，有N种格波，即有N种声子。当一种 振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj个声子。,当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为单 元交换能量，若电子交给晶格 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 的能量，则称为吸收一 个声子。 声子与声子相互作用，或声子与其他
6、粒子（电子或光子） 相互作用时，声子数并不守恒。声子可以产生，也可以湮 灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个振动模式， 即有N种不同的声子。因此，晶格振动的总能量为：,3.2 一维双原子链的振动,一、运动方程及其解,考虑一个由P和两种原子等距相间排列的,一维双原子链，设晶格常数（即原胞大小）为a，平衡时相邻两原子的间距为a/2，P、Q两原子的质量分别为M和m（设M m），原子间的力常数为。 在t时刻，第n个原胞中，P原子的位移为n ，Q原子的位移为n 。,若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：,试解：,q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q
7、的方向）上，单位距离两点间的振动位相差。,代入方程得：,久期方程：,解得,我们将频率为的晶格振动称为光学波；频率为的振动称为声学波。,由于cos(aq)以2为周期，所以是q的周期函数，其周期为2/a。,简约区：,若有一个波数q不在简约区中，我们一定可以在简约区中找到唯一一个q，使得q和q所描述的晶格振动状态完全相同。这时， q和q满足：,为倒格矢,二、光学波和声学波的物理图象,第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比,这里R为大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比，为两原子位相差。,1. 光学波（optical branch）,由于,于是，原胞中两种不同原子的振动位相差,在、象限之间，属于
8、反位相型。,物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即 原胞中的两种原子基本上作相对振动。,当q0时，这时原胞中两种原子振动位相完全相反。,原胞中两种原子的位移与其质量成反比，且运动方向相反，即原胞中两种原子作相对振动，而原胞 质心保持不动。,当q0时，有极大值：,当q/a时， 取极小值：,如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。,2. 声学波（acoustic branch）,即：,在、象限，属于同位相型
9、。,当q0时，原胞内两种原子的振动位相完全相同。,物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同， 这时，原胞基本上作为一个整体振动，而 原胞中两种原子基本上无相对振动。,q0时,这与连续介质的弹性波 vq 是一致的。,当q0时,这表明，在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。事实上，在长波极限下，晶格可以看成连续的弹性介质，格波类似于声波。,当q0时，0；当 时,在max和+min之间存在一个频率“空隙”，这表明值处于“空隙”的波将强烈衰减，不能在晶体中传播。从能量角度看， 表示声子的能量。所以频率“空隙
10、”就对应于声子能量的禁带。,三、周期性边界条件,周期性边界条件：,h =整数， N为晶体链的原胞数。,q的分布密度：,推广：若每个原胞中有s个原子，则一维晶格振动每一个 q对应有1个声学波（对应于原胞的整体振动）和 s-1个光学波。 晶格振动格波的总数sN晶体链的自由度数。,3.3 三维晶格振动,一、三维简单晶格的振动,晶格振动的势能是原子位移的函数，在微小位移的情况下，可将它在平衡位置附近展开为Taylor级数，并取平衡位置为势能原点，在简谐近似下，系统的势能为：,其中，(l)和(l)分别是第l和第l个原子沿方向和方向的位移。,力常数,第l个原子的运动方程为：,这里我们考虑了晶体中所有原子的
11、相互作用。 晶体中各力常数之间并不是都是独立的，而必须满足：,，1，2，3,另外，由于晶格的周期性，力常数,的绝对位置无关，只与他们的相对位置Rl-Rl，若相对位置一样，无论哪两个原子，其力常数均相同。,设格波解：,带入运动方程，经化简后得：,，1，2，3,这是关于A1、A2和A3的线性齐次方程组，有非零解的条件为：,久期方程,这是关于2的三次方程，由此可以解出2的三个根，即可得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。,推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波
12、（一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波。,二、布里渊区,考察(q)在q空间中的周期性。,设有两个波矢q 和q所描述的晶格振动状态完全相同，对于第j支格波，有,上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：,由于,Gn为倒格矢，h为整数,所以有q-qGn ，（由于Rl为任意格矢） 即： j(qGn)=j(q),这表明在q空间中， j(q)是以倒格矢Gn 为周期的周期函数。所以，在三维情况下我们仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。 若将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对于的两点间应满足关系：, 布里渊区边界面方程,这表明布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平方面。,布里
13、渊区的几何作图法：,根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，并取一 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平方面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。,显然，简约区就是倒易空间中的WibnerSeitz原胞。 这种几何作图法不仅可以给出简约区，即第一布里渊区，也给出了简约区以外的许多封闭区域，它们由内向外依次称为第二布里渊区、第三布里渊区等。,可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。 布里渊区序号的确定：从某个区域中的任一点到原点联成一条直线，若此直线穿过n个布里渊区边界面，那么，这个区域就是第n+1个布
14、里渊区。,三、周期性边界条件,设晶体为一平行六面体，其棱边沿基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 。,周期性边界条件：,对于第j支格波：,1, 2, 3,h = 整数,令,1, 2, 3,h1 , h2 , h3整数,可见，引入周期性边界条件后，波矢q的取值不连续，这些的q取值在q空间中构成一个态空间点阵。,在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：,其中，VNva晶体体积,所以，在q空间中，波矢q的分布密度,简约区中波矢q的取值总数(q)bN晶体的原胞数,这一结论与一维情况相同。,对于简单晶格，每一个q的取值对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）。,晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数。,对于复式晶格，每一个的取值对应于3个声学波和3(s-1)个光学波。,晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数,晶格振动波矢的总数晶体的原胞数,晶格振动格波的总数晶体的自由度数,
