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1、1,Shanghai University,断裂力学 Fracture Mechanics,断裂力学第四讲,郭战胜 davidzsguo 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30 地点：HE108或HE104b,2,应力强度因子计算,3,预备知识:映射与广泛柯西积分公式,.由已知解析函数经实轴或圆弧映射（反射）而得新的解析函数,实轴映射,解析,， 求,也解析,定义,设,定义,用,，,的柯西黎曼条件，易证,也解析,4,2.单位圆上的映射,若,，,可导出：,，,解析,解析,5,内 内映射,2.外 内映射,例,6,3.外 外映射,4.内
2、外映射,7,在 内不为零， 上， 本身可以是奇异的， 它对应 平面上的角点,待定,(1950,Darwin),5.,8,6.,7.,9,二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式F(t)F(z),闭曲线，方向逆时针,内有限域，,无限域,内域柯西公式,在,内解析，在,上连续,10,2.外域柯西公式,在 内解析，(包括 ),3.含极点的广泛内域柯西公式,在 内 处为 ，有n阶极点， 除此以外，在 内解析,则,时，,则,11,4.外域广泛柯西积分公式,在 内解析， 处， ，则在 处展成级数有,则,12,Muskhelisvili,穆什海里什维利数学弹性力学的几个基本问题,Nikoloz (Niko) Mus
3、khelishvili (Georgian格鲁吉亚: February 16 1891 - July 16, 1976) was a notable Georgian and Soviet mathematician, one of the founders and first President (1941-1972) of the Georgian SSR Academy of Sciences (now Georgian Academy of Sciences) (then ), Doctor of Physical and Mathematical Sciences (1934), P
4、rofessor (1922). He is often referred by the Russian version of his name, Nikolai Ivanovich Muskhelisvili.,是搞数学弹性理论的人必读的书。中文版是依据1953年出版的俄文第四版翻译的。1977年，Springer出版社根据当时最新的俄文修订版，推出了英文本：Muskhelishvili: Some Problems of the Mathematical Theory of Elasticity。中文本自五十年代出版后，再没有修订过,13,In 1914 he graduated from
5、 the St. Petersburg University (Russia).In 1917-1920 Muskhelishvili was Assistant Professor of this University, in 1920-1922 - Associate Professor of the Tbilisi State University (TSU), in 1922-1976 - a Professor of TSU, in 1941-1972 - first President of the Georgian SSR Academy of Sciences,in 1972-
6、1976 - Honorary President of GAS. In 1939 Muskhelishvili was elected as Academician (Full Member) of the Academy of Sciences of the USSR (now the Russian Academy of Science. Muskhelishvili was author of outstanding scientific works in the fields of singular integral equations, mathematical physics,
7、theory of elasticity, etc.,Muskhelisvili,14,由应力强度因子表达的脆性断裂准则为,进行断裂安全分析时,1）需要计算构件的 值由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式决定；,2）测定材料的 。,用实验测定材料的 时，必须首先确定试件的标定式。,因此，计算各种构件的应力强度因子，是线弹性断裂力学的一项重要任务。,15,计算 值的几种方法,1.解析法:复变函数法、积分变换； 2.数值解法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.,解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值解法。工程中广泛采用有限元法，而且随着计算机技
8、术的发展，能够计算越来越复杂的问题。 其它求应力强度因子的方法，及工程估算和实验方法可查阅有关文献。,16,对于一般的二维裂纹问题，可以用KolosovMuakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。 对于某些特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数 和 简化为确定一个复变函数 ，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。,解析法,17,记：,，则,KolosovMuakhelishvili应力函数法,18,应力函数 是实函数。,积分之：,待定函数两两共轭。
9、,KolosovMuakhelishvili应力函数法,19,这就是著名的古萨应力函数，其中， ， 为解析函数。,所以求解双调和函数 的问题，归结为求解解析函数 ， 的问题，称之为复应力函数。,KolosovMuakhelishvili应力函数法,20,应力的复变函数表示,取应力组合：,注意到 ，作第二个应力组合：,KolosovMuakhelishvili应力函数法,21,位移的复变函数表示,KolosovMuakhelishvili应力函数法,其他详见教材58-60页,22,I-II复合型裂纹,KolosovMuakhelishvili应力函数法,要确定应力强度因子，就需要确定一个解析函数
10、。对于复杂结构或载荷条件，通常使用复变函数的保角映射原理。将 平面内的几何图形，通过 映射到平面 中，简单的几何图形，从而使求解过程大为简化。,则根据应力场计算公式，可以求得K的表达式,23,范例1,教材58-60,例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中力 作用在右上表面 ，求应力强度因子,解：取映射函数,24,24,解析法求解I-II复合型裂纹的应力强度因子,复变数：,取复变解析函数：,取应力函数,或,满足双调和方程,范例1,25,25,分析第一应力不变量,对于.型复合裂纹,型：,型：,26,26,、型复合裂纹在裂纹前端处的不变量,取复数形式的应力强度因子,又,27,27,若采用,选择 满足具
11、体问题的应力边界条件,-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式 或复变应力函数为普遍形式,利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.,28,三种基本裂纹应力强度因子的计算,一.无限大板型裂纹应力强度因子的计算,计算 的基本公式,1.在“无限大”平板中具有长度为 的穿透板厚的裂 纹表面上,距离 处各作用一对集中力P,选取复变解析函数：,29,边界条件：,除去 处裂纹自由 表面上,如切出 坐标系内的第一象限的 薄平板，在 轴所在截面上内力 总和为P,以新坐标表示,30,2.在无限大平板中,具有长度为 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 的范围内受均布载荷q作用,利用叠加原理,集中力,
12、令,31,当整个表面受均布载荷时,3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 轴上有一系列 长度为 ,间距为 的裂纹,单个裂纹时,32,边界条件是周期的:,33,采用新坐标:,当 时，,34,取,-修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 的影响,若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ ）可不 考虑相互作用,按单个裂纹计算.,35,二.无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算,1.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):,2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.,36,3.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):,4.型周期性裂纹:,37,积分变换法,3
13、8,取应力函数 满足双调和方程： 富里埃变换的（n）阶导数：,二维双调和方程的Fourier Transforms,39,将双调和方程（7-2）作傅立叶变换 其中 方程（7-4）的一般解,二维双调和方程的Fourier 变换,40,应用反演公式： 及应力变换：,二维双调和方程的Fourier 变换,41,得： 由反演公式，得：,二维双调和方程的Fourier Transforms,42,现讨论平面应变情形下位移的解 作反演得： 若求得 ，可得 ， 。,二维双调和方程的Fourier 变换,43,半无限弹性平面的位移解,现讨论受分布压力 的半无限弹性平面问题 边界条件为：,44,双调和方程的应力
14、函数的傅立叶变换的一般解为： 由边界条件（2）可知： ，所以 由边界条件（1），确定A、B：,半无限弹性平面的位移解,45,半无限弹性平面的位移解,代入（7-6）式应力函数的傅立叶变换 得到应力解：,46,半无限弹性平面的位移解,对于平面应变问题 将应力函数代入（7-10）、（7-11）得到位移表达式,47,裂纹问题的对偶积分方程,现讨论裂纹边界受分布压力 问题 边界条件为：,48,裂纹问题的对偶积分方程,如果压力 分布对 轴是对称的，则 由边界条件 得： 由边界条件 得： 引入代换： 式中 是贝塞尔函数,49,裂纹问题的对偶积分方程,利用上述代换，边界条件(7-22)、(7-23)写为： 上
15、式为对偶积分方程，由这一对方程决定函数 ，于是便可求得 。在求出 后，便可以得到应力场和位移场的全部解。,50,裂纹问题的对偶积分方程,对偶积分方程 (7-24)的解为： 作用在裂纹表面的压力由下列级数给出： 则 于是有,51,裂纹问题的对偶积分方程,若当 ，且 时有 ，则 可得位移： 在均布压力作用下，裂纹会扩大张开成椭圆形状。 利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场。,52,三维裂纹问题的求解,53,受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹，Green-Sneddon解,边界条件：,椭圆盘状裂纹,54,寻找调和函数,解实际上在流体力学中已经早就找到了，即在无穷远处处于静止的不可压缩的无限流体中，椭圆盘状的物体以匀速 垂直于 平面运动，问题与上述裂纹问题在数学上相似，而它的解是已知的。,55,根据流体力学比拟得到本问题的解为,待定系数,边界条件，定出常数,应力场,其中,其中,56,应力强度因子,还原为第二类完全椭圆积分,，圆盘状裂纹,57,权函数法计算应力强度因子,58,权函数方法简述,利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情况，需要分别利用相应的边界条件确定对应的KolosovMuakhelishvili函数 和 或Westergaard函数
